在前一個單元我們學到 如果一個隨機試驗 只有成功或失敗兩種的結果 就稱為一個伯努力試驗 本單元我們將介紹二項分布 先來看一個例子 假設籃球選手小酷的投籃命中率為0.9 且每次投籃都是獨立事件 則3次投籃中 恰命中k次的機率是多少呢 假設命中叫作成功 沒有命中叫作失敗 讓我們列表討論 令隨機變數X表示3次投籃的總進球數 將所有可能的情形列出來可得到下表 則成功的次數 有可能是0或1或2或3次 x等於0是什麼意思呢 表示3次投籃命中0次 也就是3次投籃結果都沒有命中 我們打三個叉 因為每次投籃命中的機率為0.9 沒命中的機率為1減0.9等於0.1 且每次投籃都是獨立事件 所以三次都沒命中的機率 就是0.1乘以0.1乘以0.1 就是0.1的3次方 同理x等於1是什麼意思呢 表示3次投籃恰命中1次 隱含的意思是另外2次沒有命中喔 因此根據上一單元學到的 獨立重複伯努力試驗的機率 可知機率為C 3取1 乘以0.9的1次方 乘以0.1的平方 同理x等於2是什麼意思呢 表示3次投籃恰命中2次 隱含的意思是 另外1次沒有命中喔 因此機率為C 3取2 乘以0.9的平方 乘以0.1的1次方 最後x等於3表示3次投籃恰命中3次 因此機率為0.9的3次方 因為成功次數必為0 1 2 3之一 將這4個機率實際算出來並加總後 得到的機率總和為1 這個事實也可以用二項式定理來說明 p加q括號的n次方的展開式中 請注意紅字的對應關係 C n取0乘以p的0次方 乘以q的n次方 加上C n取1乘以p的1次方 乘以q的n減1次方 一直加到C n取k乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 一直加到C n取n減1乘以p的n減1次方 乘以q 加上C n取n乘以p的n次方 乘以q的0次方 當p等於0.9 q等於0.1 n等於3代入上式 可得括號0.9加0.1的3次方 等於C 3取0乘以0.9的0次方 乘以0.1的3次方 加C 3取1乘以0.9的1次方 乘以0.1的平方 加C 3取2乘以0.9的平方 乘以0.1的1次方 加C 3取3乘以0.9的3次方 乘以0.1的0次方 其中0.9加0.1等於1 即所有可能發生的機率總和為1 現在擴充至n次 令隨機變數X的取值表示 獨立重複n次的伯努力試驗中 成功的次數 故有 n次試驗中恰成功k次的機率為 C n取k乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 其中k等於0 1 2一直到n 將其列表得如下 觀察此表滿足機率質量函數的兩個性質 每一個機率皆非負 也就是每個機率都大於等於0 由二項式定理所有的機率和為1 C n取0乘以p的0次方 乘以q的n次方 加C n取1乘以p的1次方 乘以q的n減1次方 一直加到C n取k乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 一直加到C n取n乘以p的n次方 乘以q的0次方 等於括號p加q的n次方 等於1 因為C n取k乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 恰好是括號p加q的n次方 二項展開中的各項 所以稱隨機變數X的機率分布 為二項分布 我們來做個整理 重複操作一個成功機率為p 其中p大於等於0 小於等於1的伯努力試驗n次 每次試驗結果都是獨立的 設隨機變數X表示成功的次數 則n次試驗中恰成功k次的機率為 符號記為隨機變數X 服從參數為n和p的二項分布 等於C n取k乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 其中k等於0 1 2一直到n 我們來練題目 若A表示捲髮的基因 a表示直髮的基因 則第題 當這對基因為AA或Aa時 外觀是捲髮 第當這對基因為aa時 外觀是直髮 小孩的基因是分別從父母親 各取一個基因來組成 且取得A或a的機率均等 已知一對夫妻的基因皆為Aa 計畫生4個小孩 且每個小孩從父母親取得基因皆為獨立事件 求下列各事件的機率 第題 4個小孩都是捲髮 第題 恰有2個小孩是捲髮 解答 因為題意聚焦在捲髮 所以令捲髮為成功 顯然成功的機率為4分之3 失敗的機率為4分之1 則隨機變數X服從4 和4分之3的二項分布 所以X的機率質量函數為 C 4取k乘以4分之3的k次方 乘以4分之1的4減k次方 其中k等於0 1 2 3 4 第題 4個小孩都是捲髮的機率 等於C 4取4乘以4分之3的4次方 乘以4分之1的0次方 等於256分之81 第題 恰有2個小孩是捲髮的機率 等於C 4取2乘以4分之3的平方 乘以4分之1的平方 等於2分之4乘以3 乘以4分之3 乘以4分之1 等於128分之27 讓我們再來做個隨堂練習 正確答案分別為243分之80 和81分之17 你寫對了嗎 如果一個隨機試驗只有成功或失敗 兩種的結果 就稱為一個伯努力試驗 二項分布 重複操作一個成功機率為p 其中p大於等於0 小於等於1的伯努力試驗n次 每次試驗結果都是獨立的 設隨機變數X表示成功的次數 則n次試驗中恰成功k次的機率為 符號記為隨機變數X 服從參數為n和p的二項分布 等於C n取k乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 其中k等於0 1 2一直到n 下一單元我們將探討 二項分布的機率質量函數圖形 敬請拭目以待喔