先舉一個實例探討二項分布的 機率質量函數圖形的特徵 丟一個公正的銅板4次 隨機變數X表示出現正面的次數 試求X的機率分布表 請畫出X的機率質量函數圖形 求正面出現的次數等於多少時 機率最高 解答 隨機變數X服從參數4 和2分之1的二項分布 4次試驗中出現k次正面的機率為 C4取k乘以2分之1的k次方 乘以2分之1的4減k次方 k等於0 1 2 3 4 第題 5種可能出現正面次數的機率分布如下 設x軸為出現正面的次數 y軸為發生的機率 X的機率質量函數圖形 如下圖所示 觀察機率質量函數圖形 這5種可能中 出現正面次數機率最高為2次 同學寫對了嗎 以下我們利用excel計算 及繪製幾個二項分布的 機率質量函數圖形 請同學們觀察 不同的參數n p 機率質量函數圖形會長怎麼樣呢 首先我們固定p等於2分之1 隨著n改變 例如n分別代入5 6 7 二項分布的機率質量函數圖形也跟著改變 同學們有沒有發現 正中間第2個圖有一個高點 至於最左邊和最右邊 第1及第3個圖有兩個高點 接下來我們固定n等於9 也就是重複做9次 隨著p改變 例如p分別代入4分之1 2分之1 4分之3 請同學們觀察圖形 第4個圖 因為p等於4分之1比較小 觀察發現x等於2的機率最高 且x等於5及x等於6的機率很小 我們把這樣的圖形稱作右偏 因為統計學中的偏態 是看尾巴在哪 因為圖4的尾巴在右邊拖得比較長 因此稱作右偏 繼續觀察正中間第5個圖 因為p等於2分之1 表示成功的機率為2分之1 換句話說失敗的機率也是2分之1 很容易觀察到圖形呈現左右對稱 因為成功與失敗的機率各半 同學們有沒有發現 圖中有兩個高點 落在正中間x等於4及x等於5 最後觀察第6個圖 因為p等於4分之3比較大 發現k等於7的機率最高 且k等於3及k等於4的機率非常的小 同學有沒有看到 尾巴在左邊呢 因此我們把這樣的圖形稱作左偏 別忘了老師剛剛說過 因為統計學中的偏態 是看尾巴在哪 因為圖6的尾巴在左邊拖得比較長 因此稱為左偏喔 一般而言二項分布的 機率質量函數圖形 會有下列的特徵 單峰現象 當成功次數k由0到n 機率值P先上升後下降 換句話說圖形的高度先上升再下降 圖形會有1或2個最高點 最高點的位置在n乘以p附近 我們把6張圖的np分別算出來 得到圖1的np等於2分之5 圖2的np等於3 圖3的np等於2分之7 圖4的np等於4分之9 圖5的np等於2分之9 圖6的np等於4分之27 我們來觀察np與圖形最高的值 如果np是整數 如圖2 np等於3 那機率最高發生在x等於3時 如果np不是整數 如圖4 np等於4分之9 機率最高發生在4分之9附近的 x等於2時 再看一個例子 如圖5 np等於2分之9 機率最高發生在2分之9附近的 x等於4及x等於5時 至於為什麼在np附近呢 稍後我們做驗證喔 先請同學們思考 丟一個公正的銅板100次 隨機變數X表示出現正面的次數 求正面出現幾次的機率最高呢 解答 隨機變數X服從參數為100 和2分之1的二項分布 100次試驗中 出現50次正面的機率是最高的 因為我們可以將X等於50 及X等於49或51的機率質量函數 分別寫出來 經由約分後 比大小 因為50分之1大於51分之1 因此可往前回推100次試驗中 出現50次正面的機率是最高的 而這個50次 剛好是100乘以2分之1等於50喔 從excel畫出來的機率質量函數 也可以驗證喔 接下來請同學們再思考 丟一個不公正的銅板 正面出現的機率為3分之1 重複丟100次 隨機變數X表示出現正面的次數 因為n乘以p等於3分之100 請同學們猜看看 正面出現33次 還是34次的機率最高呢 解答 可以用算的 模仿剛才的做法 透過約分 比大小 因為67分之2大於34分之1 因此可往前回推100次試驗中 出現33次正面的機率是最高的 從excel畫出來的機率質量函數 也可以驗證喔 我們來驗證二項分布中 出現幾次的機率最高呢 設X服從參數為n和p的二項分布 則機率最高點發生在 當括號n加1乘以p不為整數時 k等於括號n加1乘以p 取高斯符號 當括號n加1乘以p為整數時 則最高點有2個 分別為k等於括號n加1乘以p 及括號n加1乘以p減1 證明如下 若發生k次的機率最大時 則發生k次的機率 大於或等於發生k加1次的機率 稱作第一式 且發生k次的機率 大於或等於發生k減1次的機率 稱作第二式 透過化簡第一式可得 接下來化簡第二式 第二式可得 由一 二式知 又因為k為整數 所以得到這樣的結論喔 當括號n加1乘以p不為整數 譬如圖2 圖4 圖6 譬如圖4的括號9加1乘以4分之1 等於2分之5不為整數 取高斯符號之後 得到k等於2 也就是機率最大值發生在k等於2時 k只有一個而已喔 當括號n加1乘以p為整數 譬如圖1 圖3 圖5 譬如圖3的括號7加1乘以2分之1 等於4為整數 因此機率最大值發生在2個地方 分別為4及4減1為3 也就是機率的最大值發生在k等於4及3時 k有2個喔 其他圖形交給你自己驗證看看囉 如果p等於2分之1 則圖形左右對稱 如圖1 2 3 5 如果p大於2分之1 則圖形左偏 如圖6 如果p小於2分之1 則圖形右偏 如圖4 至於np在二項分布中扮演什麼角色呢 下個單元我們將介紹期望值與變異數 敬請拭目以待喔