先複習伯努力分布的期望值與變異數 若伯努力試驗成功 則伯努力隨機變數取值為1 若伯努力試驗失敗 則伯努力隨機變數取值為0 記其成功機率為p 失敗機率為q 等於1減p 如表所示 期望值為 0乘以q加1乘以p等於p 其變異數為 括號0減p的平方乘以q 加括號1減p的平方乘以p 等於p平方q加q平方p 等於pq乘以括號p加q 等於pq 我們先以簡單的切入觀點 教同學如何記憶 二項分布的期望值與變異數 稍後再推導公式給同學看 伯努力試驗是做1次試驗 期望值等於p 變異數等於pq 而二項分布是做n次伯努力試驗 換句話說 二項分布是做n個 單次的伯努力試驗 且每次試驗結果是獨立的 既然二項分布 是做n次伯努力試驗 那麼二項分布的期望值 就是n乘以單次伯努力試驗的期望值 也就是n乘以p 同理二項分布的變異數 就是n乘以單次伯努力試驗的變異數 也就是n乘以pq 我們先以簡單的切入觀點 發現二項分布的期望值 剛好是n倍的伯努力試驗的期望值 也就是np 而二項分布的變異數 剛好是n倍伯努力試驗的變異數 也就是npq 請同學把這個結果背下來 考試的時候 接帶入公式就可以很快解題喔 讓我們來練習題目 你寫對了嗎 既然同學們懂得如何使用 二項分布的期望值 變異數 與標準差的公式 接下來請同學們欣賞 老師如何推導公式喔 令隨機變數X的取值 表示n次獨立重複 伯努力試驗中的成功次數 則隨機變數X的機率分布表如下 所以隨機變數X的期望值 為x的取值 乘以對應的機率 然後加總起來 以sigma符號表示為 sigma k等於0到n k乘以C n取k 乘p的k次方 乘q的n減k次方 因為第一項k等於0代入時 發現0乘以任何數字都是0 因此如果k從1開始 總和也是一樣的 所以下一個等號 我們就讓k從1開始 接下來我們把C n取k展開來 也就是C n取k等於 k階乘乘以括號n減k的階乘 分之n階乘 等於sigma k等於1到n k乘以k階乘乘括號n減k的階乘 分之n階乘 乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 然後再把k和k階乘約分 得到 也就是 接下來我們目標希望sigma展開後 可以得到機率總和的形式 也就是前面所學的這個 C n取0 乘以p的0次方 乘以q的n次方 加C n取1 乘以p的1次方 乘以q的n減1次方 一直加到C n取k 乘以p的k次方 乘以q的n減k次方 以此類推一直加到 C n取n 乘以p的n次方 乘以q的0次方 等於括號p加q的n次方 等於1的n次方 等於1 我們先把這個公式挪到螢幕最下方 然後繼續推導期望值的公式 回到剛才推導的地方 現在把n和1個p提出 得到 整理一下也就是 發現裡面階乘的部分 剛好是C n減1取k減1的定義 也就是 接下來觀察sigma展開式 發現sigma展開式 就是括號p加q的n減1次方的展開式 因為p加q等於1 1的n減1次方還是1 所以np乘以1等於np 我們以類似的技巧推導變異數 首先複習X的變異數 等於X平方的期望值 減期望值的平方 因為期望值為np 所以等於X平方的期望值 減np的平方 因為第一項k等於0代入時 發現0乘以任何數字都是0 因此如果k從1開始 總和也是一樣的 所以下一個等號 我們就讓k從1開始 還有為了等會階乘約分的方便 我們將k平方改寫為 k乘以括號k減1加K 根據分配律可得到 畫面中可看到 前面綠色的sigma 及後面橘色的sigma 先觀察前面綠色的sigma 因為第一項k等於1代入時 發現0乘以任何數字都是0 因此如果k從2開始 總和也是一樣的 所以下一個等號 我們就讓k從2開始 至於後面橘色的sigma 就是剛才推導的期望值np 其餘照抄 接下來我們把C n取k展開來 也就是C n取k等於 k階乘乘括號n減k的階乘 分之n階乘 其餘照抄得到 接下來約分 也就是k乘以括號k減1 和k階乘約分後 得到k減2階乘 然後把n階乘拆為n乘以n減1 乘以n減2階乘 並把n乘以n減1提出 也把p的k次方拆為 p平方乘以p的k減2次方 並把p平方提出 整理一下也就是 接下來觀察sigma展開式 發現sigma展開式 就是括號p加q的n減2次方的展開式 因為p加q等於1 1的n減2次方還是1 最後根據變異數的公式 X的變異數等於X平方的期望值 減期望值的平方 因為期望值為np 所以X平方的期望值 減掉np的平方 等於n乘以括號n減1 乘以p的平方 加np 減掉括號np的平方 等於n平方p平方減np平方 加np減n平方p平方 等於np乘以括號1減P 又q等於1減p 所以X的變異數等於npq 證明的部份 同學可以抱著欣賞的角度就可以了 至少要把公式的結果記下來 考試的時候直接代入使用喔 要把結果背下來 考試的時候直接代入使用 就可以很快的解題喔