我們在前面的單元曾提到過

二項分布是討論n次伯努力試驗中

成功的次數

若我們進行多次伯努力試驗

一直到第一次成功出現時停止

討論此時總試驗的次數

例如連續投擲一枚公正的骰子多次

一直到出現3點時才停止

令隨機變數X表總試驗的次數

則X等於1的機率為6分之1

X等於2的機率為6分之5乘6分之1

X等於3的機率等於6分之5的平方

乘6分之1

依此類推

X等於k的機率等於6分之5的k減1次方

乘6分之1

依此類推

上述這種類型的機率分布

機率值依序形成一個等比數列

而等比數列又稱為幾何數列

故我們稱之為幾何分布

幾何分布的定義

重複多次成功機率皆為p

且各次試驗的結果

互相獨立的伯努力試驗

直到第一次成功時停止

令隨機變數X表示試驗的次數

則X的機率分布

稱為參數是p的幾何分布

以X服從參數p的幾何分布表示

其中恰為k次試驗才第一次成功的機率

為X等於k的機率

滿足X等於k的機率等於

括號1減p的k減1次方乘以p

k等於1 2 3依此類推

一個不透明袋中有3個綠球

2個紅球

每球被取中之機會均等

今從袋中任取一球

觀察其顏色後放回

重複上述動作多次

直到取出綠球就立刻停止

令隨機變數X表取球次數

試求

第題 X等於1 2 3 4 5的機率

第題 試繪製X等於1 2 3 4 5的

機率質量函數圖形

因為每次觀察顏色後

我們又將球放回

所以我們每次取到綠球的機率

p等於5分之3是固定的

將一取到綠球視為成功

我們一取到綠球即停止取球動作

隨機變數X表達到

第一次成功時所需的取球總次數

根據我們剛剛的定義得知

X服從幾何分佈

機率為p等於5分之3

X等於1的機率等於5分之3

等於0.6

X等於2的機率等於5分之2乘5分之3

等於25分之6

等於0.24

X等於3的機率等於5分之2的平方

乘5分之3等於125分之12

等於0.096

X等於4的機率等於5分之2的三次方

乘以5分之3

等於625分之24

等於0.0384

X等於5的機率等於5分之2的四次方

乘以5分之3

等於3125分之48

等於0.01536

由此例題的機率質量函數圖形可知

幾何分布的機率值

會隨著隨機變數的可能值變大

而有遞減的現象

某電視節目的遊戲中

共有8位參賽者進行數項闖關活動

依各關的表現獲得對應積分

而最後將積分加總後

進行獎金挑戰賽

而獎金挑戰賽的規則如下

一個不透明的箱子內

放有6顆大小相同的球

其中2顆為中獎球

另外4顆為銘謝惠顧球

參賽者依積分高低之順序

依序從箱中抽取1球

每顆球被取中機率相同

取後放回

當有人抽到中獎球時遊戲結束

該參賽者獲得獎金

若沒中則換下位參賽者抽球

若8位參賽者均沒中

則當期獎金累積到下一期

假設小明為此期比賽的第4位

試問小明中獎機率為何

隨機變數X為第一次抽到

中獎球時所需的取球總次數

因為每次取球球都有放回去

所以每位參賽者抽到中獎球的機率

始終固定為3分之1

X服從幾何分布p等於3分之1

且X等於k的機率為括號1減3分之1的

k減1次方乘以3分之1

k等於1 2 3 以此類推

從題目可知小明為此期比賽的第4位

所以小明中獎機率為81分之8

課程進行到這邊

我們再來幫同學們做個重點整理

重複多次成功機率皆為p

且各次試驗的結果

互相獨立的伯努力試驗

直到第一次成功時停止

令隨機變數X表示試驗的次數

則X的機率分布

稱為參數是p的幾何分布

以X服從參數p的幾何分布表示

其中恰為k次試驗

才第一次成功的機率為P

滿足P

等於括號1減p的k減1次方乘以p

k等於1 2 3依此類推

下一支影片將繼續介紹

幾何分布的期望值與變異數

請大家務必認真學習

釐清觀念與認真練習喔

加油