我們在前一支影片已經學過幾何分布 連續投擲一枚公正的骰子 直到出現5點時才停止 令隨機變數X表總試驗的次數 則X等於1的機率為6分之1 約等於0.167 X等於2的機率為6分之5乘6分之1 約等於0.139 X等於3的機率為6分之5的平方乘6分之1 約等於0.116 以此類推X等於k的機率 等於6分之5的k減1次方乘6分之1 這種類型的機率分布 機率值依序形成一個等比數列 而等比數列又稱為幾何數列 故稱之為幾何分布 由此例題的機率質量函數圖形可知 幾何分布的機率值 會隨著隨機變數的可能值變大 而有遞減的現象 重複多次成功機率皆為p 且各次試驗的結果 互相獨立的伯努力試驗 直到第一次成功時停止 令隨機變數X表示試驗的次數 則X的機率分布稱為參數是p的幾何分布 以X服從參數p的幾何分布表示 其中恰為k次試驗才第一次成功的機率為 P滿足P 等於括號1減p的k減1次方乘以p k等於1 2 3 以此類推 這個題目是幾何分布之期望值 與標準差公式推導 是一個證明題喔 令隨機變數X服從參數p的幾何分布 則期望值μ等於p分之1 變異數等於p平方分之1減p 標準差σ等於根號p平方分之1減p 先備知識 若公比r大於-1小於1 則無窮等比級數a加ar加ar平方加ar三次方 以此類推 等於1減r分之a 證明如下方所示 請同學自行參考 先備知識 σ平方等於Var 等於E減μ平方 證明如下方所示 請同學自行參考 證明如下方所示 請同學自行參考 合作社舉辦滿佰集字送獎品的活動 若消費108元只能抽一次 消費200元能抽2次 消費536元能抽5次球 抽獎箱裡有10顆大小形狀皆相同的球 分別貼上 我 愛 合 作 社 的字 每字貼兩顆球 每顆球上也都只有一個字 每次只抽一球 抽完球後看完球上面的字後 先將球放回去後 才能再繼續抽下一球 如此不斷地重複下去 試問若小潔想透過集字活動 得到她想要的獎品 則抽球次數的總期望值為何 解答 隨機變數X1表達到 第一次抽獎抽到中獎球時 所需的取球總次數 所以第一次會抽中字的機率 P1等於10分之10 等於1 根據我們剛才的定義得知 X1服從參數p1等於1的幾何分布 因為每次取球球都有放回去 第二次需要抽中其他字 例如第一次抽中我 第2次需抽中 愛 合 作 社 的國字的機率 P2等於10分之8 等於5分之4 X2服從參數p2等於5分之4的幾何分布 因為每次取球球都有放回去 第三次需要抽中其他國字 例如第一次抽中我 第2次抽中愛 第三次需抽中 合 作 社 國字的機率 P3等於10分之6 等於5分之3 X3服從參數p3等於5分之3的幾何分布 同理X4服從參數p4等於5分之2的幾何分布 X5服從參數p5等於5分之1的幾何分布 幾何分布之期望值μ等於p分之1 我們可以得到μ等於E 等於5分之5加4分之5 加3分之5加2分之5加1分之5 等於12分之137 答案12分之137 接著讓我們用生活情境題 來學習幾何分布之應用 隨機變數X服從參數p等於5分之1的幾何分布 期望值μ等於5 變異數等於20 解答 期望值等於5 變異數等於20 再次提醒各位同學 若一開始不會也別灰心喔 請耐心學習並跟學校老師請教 或跟同學討論喔 影片進行到這邊 我們來幫同學們做個重點整理 重點一 重複多次成功機率皆為p 且各次試驗的結果互相獨立的伯努力試驗 直到第一次成功時停止 令隨機變數X表示試驗的次數 則X的機率分布 稱為參數是p的幾何分布 以X服從參數p的幾何分布表示 其中恰為k次試驗才第一次成功的機率 為P 滿足P 等於括號1減p分之k減1的次方乘p k等於1 2 3 以此類推 重點二 若X服從參數為p的幾何分布 則期望值μ等於p分之1 變異數等於p平方分之1減p 標準差σ等於根號p平方分之1減p 請大家務必耐心學習 釐清觀念與認真練習喔 加油