這次的課程要介紹的是 合理性的檢定 在正式介紹前 我們先進行 投擲1枚均勻硬幣11次 出現正面次數的討論 若隨機變數X表示正面出現次數 可得出現k次正面的機率為 P等於C 11取k 乘以2分之1的k次方 乘以2分之1的11減k次方 k等於0 1 2一直到11 則隨機變數X的機率分布表如下 同時我們能將機率分布表 畫成機率質量函數圖 那麼如何判斷1枚硬幣 是否為均勻硬幣 此問題代表我們想判斷 該硬幣出現正面或反面機率相等 一開始先將投擲1枚均勻硬幣11次 出現正面次數k的機率分布表列出 假設投擲該枚硬幣11次 出現0次正面 由上方機率分布表中 知道出現0次正面的機率為0.005 因為發生機率太低 因此我們有足夠的理由 認為在此情況下 此硬幣應該不是均勻的 代表此枚硬幣出現反面的機率可能較大 而在小於多少機率下 我們會認為硬幣正面次數的機率太低呢 一般會設定一個判定值α 若某些對應區間發生的機率 總和小於α 則有足夠理由認為在此情況下 此硬幣應該不是均勻的 而在檢定上正式用法為 拒絕此硬幣為均勻的假設 來代表上方的說法 反之若某些對應區間發生的機率 總和大於或等於α 則有足夠理由認為在此情況下 此硬幣應該是均勻的 而在檢定上正式用法為 不拒絕此硬幣為均勻的假設 來代表上方的說法 通常會取判定值α等於0.05 並稱為顯著水準 代表對應範圍之機率小於0.05 則拒絕此硬幣為均勻假設 那麼當設定顯著水準α等於0.05後 以投擲1枚硬幣11次 判斷此硬幣是否為均勻硬幣為例 找出在什麼區域內 會拒絕此硬幣為均勻 第一步先將投擲1枚均勻硬幣11次 出現正面次數k的機率分布表 及機率質量函數圖列出 直觀上可知道出現正面太多或太少 都有足夠理由認為不合理 接著第二步 將正面次數k次太多或太少 所對應的機率找出並相加 其機率總和小於顯著水準0.05 可知在k等於0 1 10 11時 機率總和為P加P 加P加P 等於0.0005加0.0054 加0.0054加0.0005 等於0.0118小於0.05 最後則可知道在X小於2 或X大於9時 可以拒絕此硬幣為均勻 此時我們稱X小於2或X大於9 為此檢定的拒絕域 此時該拒絕域所拒絕的範圍 是左右兩邊 因此我們稱其為雙尾檢定 而雙尾檢定多用於判斷某情況機率 是否等於某值 以均勻硬幣的概念為例 主要要討論的是 該硬幣擲出正面的機率 是否等於0.5 請選出正確答案 拒絕域可知 前面的內容中提到雙尾檢定 接下來以一個例子介紹單尾檢定 若某個藥物理論上 成功治癒病人的機率 為百分之80的情況下 對9個病人分別進行治療 每次治療皆為獨立事件 若X表成功治癒病人個數的隨機變數 在顯著水準α等於0.05下 該藥物在治癒多少病人 才能有理由認為至少有 百分之80的治癒機率 一開始需要討論在被治療9位病人 且治癒機率為0.8的 二項分布的機率分布表 假設隨機變數X表示被治療9位病人中 成功被治療的病人數量 可得被治癒k位病人的機率為 P等於C 9取k 乘以0.8的k次方 乘以0.2的9減k次方 k等於0 1 2一直到9 則隨機變數X的機率分布表如下 同時我們能將機率分布表 畫成機率質量函數圖 當設定顯著水準α等於0.05時 觀察機率分布表 可知在k等於0 1 2 3 4時 機率總和為部分的機率值 分別為P加P加P 一直加到P 等於0加0 加0.0003 加0.0028 加0.0165 等於0.0196小於0.05 最後則可知道在X小於5時 可以拒絕其治療成功的機率至少為0.8 稱X小於5為此檢定的拒絕域 將機率質量函數圖上的拒絕域畫出 可發現該拒絕域所拒絕的範圍為左邊 因此我們稱其為單尾檢定 而單尾檢定多用於 判斷某情況機率 是否不大於或不小於某值 以是否能治療成功為例 討論治癒是否至少為百分之80 最後我們整理這次課程的內容 合理性的檢定主要在討論 如何利用檢定方法 判斷我們所遇到的問題 發生的機率是否合理 檢定方法會有以下步驟 Step1 確認情況的假設 並列出該情況的機率分布表 及機率分布圖 Step2 確認顯著水準α之值後 找出機率總和小於 顯著水準α值之情況 Step3 找出此情況的範圍 做為此檢定的拒絕域 Step4 判斷情況是否落在拒絕域內 若落在拒絕域內則拒絕假設 若不落在拒絕域內則不拒絕假設 而檢定方法也會和 我們要判斷的情況有所差異 若判斷某情況機率是否等於某值 我們會採用雙尾檢定 其拒絕域會是左右兩邊的情況 若判斷某情況機率 是否不大於或不小於某值 則會採用單尾檢定 其拒絕域會是單邊的情況 那麼這支影片的課程介紹到這邊 各位同學加油