經營一間公司必須注重 如何將有限的資源完善利用 方能降低成本增加營收 維持公司的財務 讓公司長久經營 線性規劃這個章節 提供一種求極值的方式 學完之後 可以幫助各位妥善的分配資源喔 各位同學還記得高一時學過的 二元一次不等式嗎 現在讓我們來複習一下吧 先看這個式子 3x減2y小於6 式子當中有兩個未知數稱為二元 未知數的最高次方是一次 用小於的符號連接左右而非等號 故3x減2y小於6 稱為二元一次不等式 當係數a b不全為0時 諸如ax加by小於c ax加by大於c ax加by小於等於c ax加by大於等於c 皆稱為二元一次不等式 回到3x減2y小於6 滿足這個不等式的 就稱為這個不等式的解 例如 都是3x減2y小於6的解 把這些解標示在平面坐標上 如圖所呈現 若是畫出3x減2y等於6的直線 會發現這些點都位於 直線的左上半平面 因此我們有個猜想 位於直線左上半平面的點 都是3x減2y小於6的解 且3x減2y小於6的解 都位於直線的左上半平面 究竟這個猜想是否正確呢 讓我們來思考看看吧 若在直線3x減2y等於6上 則滿足3x 減2y 等於6 在左側取任意一點 已知x 小於x 3x減2y等於6當中 x的係數3大於0 可得3x 小於3x 可再推得3x 減2y 小於3x 減2y 等於6 因此左側的點 都是3x減2y小於6的解 在上方取任意一點 已知y 大於y 3x減2y等於6當中 y的係數-2小於0 可得-2y 小於-2y 可再推得3x 減2y 小於3x 減2y 等於6 因此上方的點 都是3x減2y小於6的解 由以上討論可知 對於任何直線上的點來說 它的左側的點和上方的點 都是3x減2y小於6的解 這就代表直線左上方的所有點 都是不等式的解 至於直線的右下方的點 是不是不等式的解呢 在右側取任意一點 已知x 大於x 可得3x 大於3x 可再推得3x 減2y 大於3x 減2y 等於6 因此右側的點 都不是3x減2y小於6的解 在下方取任意一點 已知y 小於y 可得-2y 大於-2y 可再推得3x 減2y 大於3x 減2y 等於6 因此下方的點 都不是3x減2y小於6的解 由以上討論可知 對於任何直線上的點來說 它的右側的點和下方的點 都不是3x減2y小於6的解 這就代表直線右下方的所有點 都不是不等式的解 因此3x減2y小於6的解 都位於直線的左上半平面 綜合上述 我們可以得知剛剛的猜想 位於直線左上半平面的點 都是3x減2y小於6的解 且3x減2y小於6的解 都位於直線的左上半平面 是正確的 我們可以得到結論 不等式3x減2y小於6的解 就是直線3x減2y等於6的 左上方的半平面區域 而直線上的點皆滿足3x減2y等於6 不是3x減2y小於6的解 因此將此直線改以虛線表示 圖示二元一次不等式的解 即如畫面所呈現 經由類似的論證 以直線ax加by等於c作為分界 來討論如何圖示不等式的解吧 當x的係數a大於0 且y的係數b大於0 x越往右ax加by的值越大 y越往上ax加by的值越大 所以直線的右上半平面 是ax加by大於c的解 x越往左ax加by的值越小 y越往下ax加by的值越小 所以直線的左下半平面 是ax加by小於c的解 當x的係數a小於0 且y的係數b小於0 x越往右ax加by的值越小 y越往上ax加by的值越小 所以直線的右上半平面 是ax加by小於c的解 x越往左ax加by的值越大 y越往下ax加by的值越大 所以直線的左下半平面 是ax加by大於c的解 當x的係數a大於0 且y的係數b小於0 x越往右ax加by的值越大 y越往下ax加by的值越大 所以直線的右下半平面 是ax加by大於c的解 x越往左ax加by的值越小 y越往上ax加by的值越小 所以直線的左上半平面 是ax加by小於c的解 當x的係數a小於0 且y的係數b大於0 x越往右ax加by的值越小 y越往下ax加by的值越小 所以直線的右下半平面 是ax加by小於c的解 x越往左ax加by的值越大 y越往上ax加by的值越大 所以直線的左上半平面 是ax加by大於c的解 如果要在平面坐標上 圖示不等式 3x加y小於等於5的解 先在平面坐標上畫出直線 3x加y等於5 透過x的係數3大於0 y的係數1大於0 知道若x越小及y越小 會使3x加y的值越小 更能滿足3x加y小於等於5 因此不等式的解區域 是在直線的左下方 包含直線的半平面 換作是沒有等號的不等式 例如-2x加5y大於1 先用虛線畫出直線 -2x加5y等於1 透過x的係數-2小於0 y的係數5大於0 知道若x越小及y越大 會使-2x加5y的值越大 更能滿足-2x加5y大於1 因此不等式的解區域 是在直線的左上方 不包含直線的半平面 學會圖示二元一次不等式後 接著來學習如何圖示 二元一次聯立不等式組的解 聯立不等式組是由多個不等式組成 它的解滿足其中的每一個不等式 因此解區域 為這些不等式解區域的共同部分 例如圖示二元一次聯立不等式組 -4x減y小於等於-1 2x減3y大於3的解 先分別圖示-4x減y小於等於-1 及2x減3y大於3的解 將兩張圖相疊後 取出它們的共同部分 就是聯立不等式組 -4x減y小於等於-1 2x減3y大於3的解區域 又可稱為可行解區域