在高一的課程當中 我們曾經學過利用點斜式 求平移後的直線方程式 以及利用變數代換 求平移後的直線方程式 讓我們利用下面的這道例子 來回顧這兩種方法要怎麼使用吧 將直線L 3x加2y等於-5上 所有的點一起向右平移4個單位 向上平移2個單位 則平移後的新的直線方程式L'為何呢 首先我們先利用點斜式的概念 來求平移後的直線方程式 平移後的直線斜率 會和原直線斜率相等故 m 等於m 等於-2分之3 在L上找一點P 向右平移4個單位 再向上平移2個單位 會到達點P' 可知點P'必為直線L'上的點 利用點斜式得L'方程式為 y減1等於-2分之3 乘上括號x減3 整理後可得 3x加2y等於11 接著我們利用變數代換的方式 若直線L 3x加2y等於-5 向右平移h單位 向上平移k單位 得到的直線方程式為 3乘以括號x減h加2乘以括號y減K 等於-5 此題h k等於4 2 故L'方程式為 3乘上x減4加2乘上y減2 等於-5 整理後可得 3x加2y等於11 接著來觀察直線平移後的特性 考慮平面坐標上直線 2x減y等於0 若將直線2x減y等於0向右平移2單位 可得直線2x減y等於4 若將直線2x減y等於0向左平移2單位 可得直線2x減y等於-4 2x減y當中 x的係數2大於0 因此直線向右平移使x增加 2x減y的值也隨著增加 直線向左平移使x減少 2x減y的值也隨著減少 若將直線2x減y等於0向上平移2單位 可得直線2x減y等於-2 若將直線2x減y等於0向下平移2單位 可得直線2x減y等於2 2x減當中 y的係數-1小於0 因此直線向上平移使y增加 2x減y的值也隨著減少 直線向下平移使y減少 2x減y的值也隨著增加 將一直線平移後可得到一系列 互相平行的直線 這些直線稱為平行直線系 經由類似的論證 觀察平行直線系 ax加by等於k的特性 考慮x的係數a 當a大於0 越往右平移k的值越大 越往左平移k的值越小 當a小於0 越往右平移k的值越小 越往左平移k的值越大 換做考慮y的係數b 當b大於0 越往上平移k的值越大 越往下平移k的值越小 當b小於0 越往上平移k的值越小 越往下平移k的值越大 上支影片學習了如何圖示 二元一次聯立不等式組的解 例如想要圖示二元一次聯立不等式組 3x減2y小於等於-10 2x減3y小於等於-10的解 可先分別圖示3x減2y小於等於-10 及2x減3y小於等於-10的解 將兩張圖相疊後 取出它們的共同部分 就是聯立不等式組 3x減2y小於等於-10 2x減3y小於等於-10的解區域 又稱為可行解區域 那麼在二元一次聯立不等式組中 所有解中 x減y是否有最大值或最小值呢 考慮直線系x減y等於k 因為x的係數1大於0 且y的係數-1小於0 從x減y等於0開始 直線越往左上方平移k值越小 第一次與可行解區域相交 會發生在點 此時的直線為x減y等於-4 即x減y有最大值-4 因為可行解區域是開放區域 直線x減y等於k 不管往左上方平行移動多遠 都會跟可行解區域有交點 所以x減y的最小值並不存在 在這個問題中 我們想求x減y的最大值或最小值 x減y稱為本題目的目標函數 而使目標函數產生最大值 或最小值的點 稱為最佳解 由以上的討論可以知道 當x y滿足某個二元一次聯立不等式組 想要求目標函數P 等於ax加by的最大值與最小值 可以先畫出此聯立不等式的 可行解區域 然後畫出平行直線系ax加by等於k 觀察可行解區域 和平行直線系的相交情形 如此即可找出最佳解 求得ax加by的最大值與最小值 這種方法稱為平行線法 讓我們再來看一個例子 在y小於等於3 2x加y大於等於-3 x減2y小於等於-4的 可行解區域中 求目標函數P等於3x加y的 最大值與最小值 首先畫出二元一次聯立不等式組的 可行解區域 然後畫出平行直線系3x加y等於k 因為x的係數3大於0 且y的係數1大於0 所以越往右上方平移k值越大 從圖中可以觀察出 和可行解區域相交的直線當中 最右上方的直線通過點 將代入P可得 P等於3乘以2加3等於9 因此最大值為9 另一方面 和可行解區域相交的直線當中 最左下方的直線通過點 將代入P可得 P等於3乘以-3加3等於-6 因此最小值為-6 將一直線平移後 可得到一系列互相平行的直線 這些直線稱為平行直線系 平面坐標系ax加by等於k當中 可以由a b的正負判斷 直線平移對k值的影響 想要求在可行解區域中 目標函數的最大值與最小值 可以先畫出可行解區域 然後畫出平行直線系 觀察可行解區域 和平行直線系的相交情形 最後找出最佳解 求得最大值與最小值 此方法稱為平行線法