上支影片學習如何用 平行線法求二元一次聯立不等式組的 可行解區域中 目標函數的最大值與最小值 就讓我們利用一個例子 來複習平行線法吧 若想要求二元一次聯立不等式組 x大於等於-2 y大於等於-2 4x加y小於等於10 x減4y大於等於-6的 可行解區域中 目標函數P等於2x加y的 最大值與最小值 首先畫出二元一次聯立不等式組的 可行解區域 然後畫出平行直線系 2x加y等於k 因為x的係數2大於0 且y的係數1大於0 所以越往右上方平移k值越大 從圖中可以觀察出 和可行解區域相交的直線當中 最右上方的直線通過點 將代入P可得 P等於2乘以2加2等於6 因此最大值為6 另一方面 和可行解區域相交的直線當中 最左下方的直線通過點 代入P可得 P等於2乘以-2加-2等於-6 因此最小值為-6 由這個例子可以發現 和可行解區域相交的平行直線當中 最邊界的直線都會通過頂點 因此最大值與最小值會發生在頂點 如果目標函數改變 讓平行直線系的斜率 與可行解區域的其中一個邊平行 這樣最大值與最小值 還會發生在頂點嗎 讓我們來看這個例子 若想要求二元一次聯立不等式組 x大於等於-2 y大於等於-2 4x加y小於等於10 x減4y大於等於-6的 可行解區域中 目標函數Q等於4x加y的 最大值與最小值 先畫出二元一次聯立不等式組 的可行解區域 然後畫出平行直線系 4x加y等於k 因為x的係數4大於0 且y的係數1大於0 所以越往右上方平移k值越大 從圖中可以觀察出 和可行解區域相交的直線當中 最右上方的直線 即為4x加y等於10 可行解區域中在這條線上的點 代入Q都等於10 頂點和代入一樣會等於10 因此最大值為10 雖然最大值不只發生在頂點 但依然會發生在頂點 另一方面 和可行解區域相交的直線當中 最左下方的直線通過點 代入Q可得 Q等於4乘以-2加-2等於-10 因此最小值為-10 從這個例子可以觀察出 雖然最大值與最小值 不一定只發生在頂點 但依然會發生在頂點 因此我們可以知道 當可行解區域是一個 封閉的多邊形含邊界 目標函數ax加by的 最大值與最小值 會發生在此多邊形的頂點上 也就是說 只要把多邊形的所有頂點坐標 代入ax加by並分別求出其值 其中的最大值與最小值 即為ax加by在可行解區域裡的 最大值與最小值 這種方法稱為頂點法 例如在剛剛的題目當中 多邊形的頂點分別為 代入4x加y的值如表格所示 根據頂點法可知 當等於或時 有最大值10 當等於 有最小值-10 與平行線法求得的結果相符 平行線法和頂點法各有優缺點 平行線法的優點 是必須代入求值的點比較少 且適用於任何形狀的可行解區域 缺點是圖形要畫得很精準 才能判斷可行解區域 與平行直線系的相交情形 而頂點法的優點 是只要找出頂點代入 就可以求得最大值與最小值 缺點是只能用在多邊形的可行解區域 讓我們用頂點法來求解以下的題目吧 已知為圖中三角形邊界 及其內部的點 求-4x加3y的最大值與最小值 因為的範圍在一個封閉三角形內 此題可用頂點法求解 將頂點 分別代入-4x加3y求得其值 如表格所示 由表格可以得知 當等於時 有最大值24 當等於時 有最小值1 再試著用頂點法來想想這個題目吧 已知x y滿足聯立不等式 4x減y大於等於-3小於等於7 x加y大於等於-2小於等於3 求目標函數P等於-2x加3y加7的 最大值與最小值 先將原題目拆解成四個不等式 4x減y大於等於-3 4x減y小於等於7 x加y大於等於-2 x加y小於等於3 接著畫出這四個聯立不等式組的 可行解區域 因為可行解區域是一個封閉的四邊形 所以可以利用頂點法求解 將頂點 代入-2x加3y加7 分別求出其值如表格所示 由表格可以得知 當等於時 有最大值16 當等於時 有最小值-4 當可行解區域 是一個封閉的多邊形含邊界 目標函數ax加by的最大值與最小值 會發生在此多邊形的頂點上 也就是說 只要把多邊形的所有頂點坐標 代入ax加by並分別求出其值 其中的最大值與最小值 即為ax加by在可行解區域裡的 最大值與最小值 這種方法稱為頂點法