你有沒有仔細觀察過紅綠燈呢？

它們是由一顆顆LED燈泡所組成

但遠看時全部糊在一起

你想過要靠得多近

才能看清楚一顆顆的LED嗎？

回答這個問題前

讓我們先來複習一下之前學到的單狹縫繞射

讓單一波長的雷射光通過一個單狹縫

根據惠更斯原理

每個狹縫上的點

都可以被視為一個新的點波源

光以圓波由這些點波源傳送出去

互相干涉

就形成明暗相間的條紋

在推算這些條紋的位置之前

讓我們先來仔細瞭解一下實驗的設置

單狹縫繞射實驗是由一個狹縫和光屏所組成

狹縫的寬度是a

狹縫到光屏的距離為L

假設我們要討論光屏上的任一點P

P點與光屏中心點的距離為y

雷射光通過單狹縫後

可以視為多個點波源

由它們到P點的光程差

就可以得知P點的明暗

接著我們來推導光程差與y的關係

第一步和推導雙狹縫干涉條紋時類似

我們可以假設L遠大於a

因此由單狹縫上所有點到P點的光線

都可以被視為互相平行的光

現在我們要來討論這些點到P點間的光程差

但是點波源有無限多個

我們應該討論哪些點的光程差呢？

為了簡化問題

我們先討論光程差最大的兩條

也就是由單狹縫兩側S1、S2射出的光線

說不定可以給我們一些啟發

剛剛已經提到L遠大於a

因此由S1、S2射到P點的光線可以被視為平行光

從S1向S2P畫一條垂直線

會形成一個直角三角形

藍線為兩條光線的光程差

長度為a乘以sinθ

其中θ為狹縫與P的夾角

和雙狹縫干涉實驗一樣

由於形成繞射條紋的範圍很小

因此θ很小

sinθ可以被近似為tanθ

右圖中的黃色三角形告訴我們

tanθ等於y除以L

因此a sinθ等於a tanθ等於a乘以y除以L

如此我們就找出光程差與y之間的關係

接著我們就要用此關係

去討論單狹縫繞射明暗條紋的位置

讓我們先來討論最簡單的位置

也就是屏幕中心的O點

在這裡會形成亮紋還是暗紋呢？

由於狹縫上每個點到O點的距離都相同

光程差皆為零

所以會形成完全建設性干涉

也就是亮紋

由於它的位置在屏幕中央

因此稱為中央亮紋

接著我們再來看

屏幕上的其他地方會形成亮紋還是暗紋？

暗紋的定義是從狹縫上每個點發出來的光

剛好會在此處形成完全相消性干涉

而暗紋以外的位置

由於光不會完全相消

就會形成亮紋

剛剛我們有討論過最大光程差

讓我們仿照雙狹縫干涉的步驟

來看看如何用最大光程差

來得知亮暗紋的位置

當最大光程差為1個波長

我們可以在中間畫一條輔助線

將上下光束間的區域分成兩半

神奇的事情發生了

最上面和中間的光程差為二分之一波長

會彼此抵消

往下一些的兩條光也差二分之一波長

會彼此抵消

以此類推

兩塊區域射出的光全部都兩兩相消了

因此在屏幕上形成完全相消性干涉

也就是暗紋

也就是暗紋

用同樣的方法

我們可以找出其他暗紋的位置

比如最大光程差為兩個波長時

我們可以畫出二分之一、一倍及二分之三倍波長處

這三條輔助線

切出4個區域

上面兩個區域的光程差為二分之一

彼此抵消

下面兩個區域也會彼此抵消

在屏幕上形成暗紋

因此我們得出結論

當最大光程差為波長的整數倍時

會形成暗紋

那亮紋會出現在哪些位置呢？

當最大光程差為二分之一波長時

只有最外側兩條光線會彼此相消

其他光都不會

因此仍屬於中央亮紋的範圍

當最大光程差為二分之三波長時

我們可以在二分之一與1波長處畫出輔助線

切割成三個區域

我們會發現其中兩個區域的光線

彼此間的光程差都為二分之一波長

會兩兩相消

但是還有一塊區域不會相消

因此形成亮紋

但由於只剩下三分之一的光線照射到屏幕

因此亮度會比中央亮紋來的小

以此類推

當最大光程差為整數倍加二分之一波長時

就會形成亮紋

讓我們統整一下亮紋暗紋的位置

最大光程差為波長整數倍的位置會形成暗紋

其最大光程差等於a sinθ

約等於a tanθ

也就是a乘以y除以L

因此當mλ等於ay除以L時

會形成暗紋

移項發現位置y等於mLλ除以a

同樣的

最大光程差為波長整數倍加二分之一波長的位置

則是亮紋的中線

也就是n加二分之一λ等於a乘以y除以L

移項得到位置y等於n加二分之一Lλ除以a

當n與m愈大時

離中央亮紋的距離愈遠

中央亮紋的兩側分別是m等於1的第一暗紋

接著是n等於1的第一亮紋

然後是m等於2的第二暗紋

依此類推

兩條暗紋和兩條亮紋之間的距離都相同

等於Lλ除以a

也就是條紋的寬度與屏幕距離、光的波長成正比

與狹縫寬度成反比

結論都與雙狹縫干涉相似

但這裡要注意的是

雙狹縫干涉條紋

每條紋路的寬度和亮度都是固定的

但是單狹縫繞射條紋的中央亮紋

寬度為其他亮紋的兩倍

為2Lλ除以a

而且亮度由中央向兩側遞減

讓我們來回答片頭的問題

要靠多近才能看清楚紅綠燈上的LED燈呢？

一顆顆LED可以視為一個個單狹縫

我們的視網膜就像屏幕

每個單狹縫都會在屏幕上形成各自的繞射條紋

如果兩相鄰繞射條紋的中央亮紋距離太近

就會糊在一起無法分辨

若兩中央亮紋距離夠遠

距離一條暗紋以上

我們就可以分辨了！

我們知道由中央亮紋到第一暗紋的距離

y等於Lλ除以b

經過計算可以得到

我們大約在距離約為140公尺內

可以分清楚LED燈泡了

是不是很有趣呢？

讓我們來看看這個題目

最後我們要來看看

光的單狹縫繞射在科學上有什麼實際的應用

其實單狹縫繞射條紋

並不是一定像我們前面看到的樣子

當狹縫的形狀改變時

繞射圖樣也會變得不同

聰明的科學家應用此原理

來瞭解物體的細部結構

比如原子的排列方式等等

科學家用波長比可見光短約1000倍的X光照射晶體

這些肉眼不可見的結構

透過X光的繞射圖樣

就被精密的推算出來

一個有名的例子就是科學家透過繞射

觀察出DNA分子的雙股螺旋結構

你還有想到什麼有趣的應用呢？

與同學討論看看喔

今天就到這邊了

bye bye