學完電場與電力線分布概念之後 讓我們實際應用這些知識 來分析問題吧 我們先選擇一個日常可見 最簡單的形狀來做討論 你覺得 哪種形狀分析起來應該相對單純呢？ 要說最單純的形狀 莫過於從各個角度看都是對稱的球型了 若有一顆帶電的導體球 請問它會在空間中建立什麼樣的電場？ 在回答這個問題前 我們先複習一下前面學過的相關概念 你能想到 哪些概念我們可能會用上的嗎？ 在前面的影片中有學過 點電荷在空間中所建立的電場量值 與距離有反平方關係 其形式為E等於kQ除以r的平方 而點電荷所帶電的正負 則與電場方向有關 若帶正電則電場朝外發散 若帶負電則電場向電荷收斂 另外在學習電力線概念時 我們也認識了 導體內部電荷的分布狀態 導體內部的電荷 會在達到靜電平衡後停止移動 因此使得帶電金屬球內 電荷會均勻分布在其表面 電力線分布如畫面所示 到這裡 如果你對以上兩個概念尚有疑問 建議你可以先回到 前面的影片觀看學習 再回來繼續加入討論哦 那我們就繼續依據前面所學的概念來討論 先把剛剛提到的 帶電金屬球電力線分布 與點電荷的電力線分布列出 請你觀察兩張圖 找出兩者有哪些相同相異之處 先由其相同之處來看 你注意到什麼特點呢？ 你應該有發現 在導體球外的空間中 兩者電力線分布是相同的 而且電力線的指向也是相同的 再討論兩者不同之處 這可能又更明顯了 請你嘗試描述兩者有何不同 在導體球內部的空間中 並沒有電力線分布 而同樣的空間裡面 點電荷的電力線則仍存在不會消失 恭喜你 到這邊所整理出來的這些資訊 就是我們想分析 帶電導體球在空間中建立電場的關鍵 現在 請你分別由剛剛列出的相同相異之處 推論出 帶電導體球所建立的電場可以如何被描述 提示你 只要運用學過的電力線電場概念 應該就可以回答囉 我們首先會發現 相同相異的分界 就是導體球外部或內部 若討論導體球外的空間 因為電力線分布 與點電荷建立的電力線分布情形一致 因此也可以推論 電場量值與點電荷建立的電場量值相同 可以用相同的數學式來描述 而再看到導體球內空間 沒有電力線存在 代表什麼意義呢？ 電力線是假想的力線 用來表示電場方向 因此沒有電力線的空間 就代表沒有電場存在 也就是說 不論帶電導體球帶有多大的電量 在其內部空間中電場都是零 電荷在其中任意位置 都不會因受到電力作用而移動 討論到這裡 你應該差不多能回答一開始的問題了 請問帶電量Q的導體球 會在空間中建立什麼樣的電場呢？ 請你嘗試分區並以數學式列式表示 我們可以分別列出位置在導體球內 即與球心距離r小於導體球半徑 以及位置在導體球外 即與球心距離r大於導體球半徑的情況 當位於球內 電場E=0 當位於球外 電場E等於kQ除以r的平方 這時仔細的你可能會再想到 如果剛剛好在導體球表面 即與球心距離r 等於導體球半徑的情況 應該怎麼表示呢？ 在導體球表面上因為有電荷分布 此處當然也有電場的存在 我們在畫電力線時 也是由表面出發來畫的 所以在導體球表面上的電場 一樣可用點電荷的電場數學式 E等於kQ除以r的平方來描述 此特殊位置上 與球形距離r等於導體球半徑 因此式子又可以被寫成 E等於kQ除以半徑的平方 討論到這裡 你應該能完全掌握 帶電導體球在空間中 建立的電場分布情形了 請問若想畫圖表達 導體球建立的電場與距離關係 應該怎麼畫呢？ 在這裡我先把橫軸、縱軸提供給你 標出關鍵的數值如畫面所示 接下來交給你嘗試看看 由前面整理出來 三種情形下的三個電場數學式 我們可以一一在圖上標記出來 看起來最簡單的就是球內情形了 我們直接把0到導體球半徑R的這段 都標記為0 也就是畫出一條貼著軸的線 接下來 當與球心距離r等於導體球半徑 電場量值為E等於kQ除以半徑的平方 我們在此處標上一個點 往外當與球心距離r大於導體球半徑 兩者會呈現反平方關係 圖上應該以這條二次式表示 隨著與球心距離越遠 電場量值就會越小 最後邀請你挑戰看看 如果我們討論的對象 由原本的帶電實心導體球 變成空心導體球殼 則電場的表示應該如何修改呢？ 我們先嘗試畫出 帶電空心導體球殼中的電荷分布 如果這個球殼帶有12單位的基本電荷 它們會怎麼分布呢？ 此時導體內部電荷 應該還是要符合靜電平衡的均勻分布結果 也就如圖上所示 再試試看 如果是我們熟悉的實心導體球 也帶有12單位的基本電荷 它們又會怎麼分布呢？ 電荷會在表面均勻分布 比較一下兩張圖 你得到答案了嗎？ 其實這個例子很像我們喝現剖椰子汁 把椰子汁都吸光之後 會留下椰子殼 無論椰子汁有沒有被吸光 椰子殼 始終還是一樣厚實堅硬的椰子殼 而在導體球的例子上 導體球內部沒有電荷分布 電荷都集中在導體球表面 可看成球殼的位置上 即使我們把導體球內部沒有電荷分布的部分掏空 也不會影響表面電荷的分布情形 所以帶電實心導體球 與空心導體球殼的電場 表示方式會是完全一樣的 不需要修改哦 我們的討論就到這邊結束啦 下次見 bye bye