上部影片同學在體育課玩跳繩時發現 兩個人在甩繩時 繩子會出現一圈圈很整齊形狀 此現象叫駐波 知道駐波概念後 不僅會讓人想知道 有沒有可能每次都很精確地甩出駐波行為 甚至有沒有可能製作出一個甩繩的儀器 利用固定振動頻率形成駐波呢？ 我們一起來瞭解看看吧 上一部影片中我們已經學過了 兩個完全相同的繩波 反向前進行繩波的疊加 才會形成駐波 駐波行為中 波包的長度是原本繩波波長的一半 要怎麼利用儀器的振動 精準地產生駐波行為 為了討論這樣的問題 我們開始利用模擬的方式 看看要形成駐波有什麼可能的數學條件 透過觀察駐波行為 我們發現 駐波在一段區域內 會產生好像會停止前進 波形在原地上下振盪的現象 如果繩子一邊是振動源 另一邊是牆壁 雖然振動源處有擾動繩波 但擾動振幅和駐波形成的振幅相比 可被忽略 此時駐波的兩邊都可以視作是形成節點 這個我們稱作兩端固定的情況 在兩端固定端間 要形成駐波有哪些可能性呢？ 我們會發現波包兩側也是兩節點 所以在兩個固定端間形成駐波 需要在兩固定端間 剛好塞進一個波包、兩個波包、三個波包……等 根據上一部影片所學 我們知道 波包長度是原本繩波波長的一半 所以 我們可以利用數學來描述形成駐波的條件 如右方之方程式所示 其中n是正整數 n = 1, 2......等 那麼如果在駐波行為中 相同長度塞進更多波包 代表什麼意義呢？ 在形成駐波時 相同長度塞進更多波包 代表波包長度短 繩波波長較短 根據波動方程式v等於fλ 繩波波速相同時 代表此時是繩波的頻率較高 也就是如果甩動的繩波頻率 恰好可以形成駐波 則繩波頻率越高 每秒鐘甩動的次數越多 波包長度越短 可以塞進越多波包 在形成駐波時 相同長度塞進較少波包 代表波包長度較長 繩波波長較長 根據波動方程式v等於fλ 繩波波速相同時 代表此時是繩波的頻率較低 也就是如果甩動的繩波頻率 恰好可以形成駐波 則繩波頻率越低 每秒鐘甩動的次數越少 波包長度越長 只能塞進較少波包 從剛剛的討論我們可以知道 當繩波形成駐波時 不同波包數會對應不同的駐波頻率 所以需要特定頻率的繩波 才能形成駐波 我們來思考一下這個問題 根據歸納剛剛的模擬 我們已經發現 繩子一邊是振動源 另一邊是牆壁 在這樣兩端固定的情況 要形成駐波的條件 是兩固定端要塞進整數個波包 繩長L可以是1個二分之λ 2個二分之λ 或3個二分之λ 甚至是n個二分之λ 我們可以將這樣形成駐波的條件 用數學寫下來 在形成駐波時 繩長L與波長λ的關係 是可以寫成L等於n乘上二分之λ 我們因此可得到想要形成駐波時 繩波波長的條件 λ等於2L除以n 可以求出我們如果想要形成駐波時 繩波的頻率應該是多少 已知剛剛得到的形成駐波之波長條件為 2L除以n 將波動方程式v等於fλ 移項後會得到 f等於v除以λ 接著將波長條件λ代入移項後的波動方程式 即可以推得頻率f如以下數學式所示 要甩出一個波包的駐波 需要振動源產生這樣的頻率 f等於1乘上2L分之v 要甩出兩個波包的駐波 需要振動源產生這樣的頻率 f等於2乘上2L分之v 要甩出三個波包的駐波 需要振動源產生這樣的頻率 f等於3乘上2L分之v 以此類推 要產生n個波包的駐波 需要振動源產生這樣的頻率 f等於n乘上2L分之v 從數學關係中我們也看到 若甩動的繩波頻率越低 波包數越少 甩動的繩波頻率越高 波包數越多 這也跟我們剛剛討論的結果相符 並且根據分析的數學關係 我們知道振動源振動只要給定特定頻率的繩波 就能滿足駐波的條件來形成駐波 剛剛我們討論的是兩端都是固定端的情況 有沒有繩子兩端在其他的條件 也能形成駐波的可能性呢？ 如果我們把牆壁這邊的固定端 改成由質量很輕的小環 套在可自由移動的長桿上 這會產生不同的駐波條件 要形成駐波變成要一邊是節點 一邊是腹點 這樣只有將波包切半塞入 才會剛好形成駐波 波包長度的一半為 二分之一乘上二分之λ 等於四分之λ 只有在一半波包長度的奇數倍 才會剛好滿足一邊是節點 一邊是腹點的條件 L等於mλ除以4 其中m為奇數 m = 1, 3, 5......等 我們同樣可以藉此得到 滿足駐波條件的繩波波長 λ等於4L除以m 再求出想要形成駐波時 所需甩出的繩波頻率 f等於v除以λ f等於4L分之mv 我們會發現在繩子兩端有不同的條件時 也需要有不同的駐波頻率才能形成駐波 回答影片剛開始的問題 我們從駐波的條件中 可以知道了精確產生駐波行為的方法 也就比較有可能製造出 能精確產生駐波的儀器 所以振動源只要形成特定頻率的繩波 就能精準形成駐波 我們今天學到 1.兩端固定的情況下 要形成駐波 必須在兩固定端間形成整數個波包 2.只要形成特定頻率的繩波 就能精準形成駐波 彈吉他時 發現按壓和弦時 縱使撥同一根弦 只要按壓的位置改變 也會形成不同的頻率 怎麼從駐波所學 解釋這樣的現象呢？ 歡迎留言分享你的想法 下次見囉 bye bye