在運動的種類中 大致上可以分成移動、轉動與振動 利用這三種運動的結合 可以得到實際運動中各式各樣的組合 轉動部分高中常見的是等速率圓周運動 而振動則為簡諧運動 我們首先複習等速率圓周運動 若物體呈現等速率圓周運動 則合力等於向心力 其中向心力要特別注意 它並非一種力的來源 而是合力作用後的結果 外力施力包括超距力 如：電力、磁力與重力等 以及接觸力 像是張力、彈力、正向力與摩擦力等 從力的來源來看 向心力並不是施力來源 更適當的說法是： 進行等速率圓周運動的物體 必定受到某些力形成向心力 實際作用為使物體繞著圓心旋轉 關係式可以表示為： 合力提供作為向心力FC 其中 我們可以利用等速率圓周運動公式 求出圓周運動的物理性質 例如向心加速度、角速度、切線速率或是週期 各物理量與向心力之間的關係如畫面所示 常見的等速率圓周運動 有水平桌面的等速率圓周運動 錐動擺 水平粗糙路面的轉彎 傾斜光滑路面的轉彎等 我們也可以把這些關係式 延伸到變速率圓周運動中 如鉛直面圓周運動 只需要將合力部分分解為： 法線方向合力與切線方向合力 其中 每一個瞬間 法線方向的合力都等於向心力Fc 也就是說 垂直速度方向的合力 可成為向心力 形成圓周運動 而平行速度方向的合力 則改變物體運動之瞬間速度大小 形成變速率圓周運動 在鉛直面圓周運動中 各點的關係式有些許的不同 而在後續影片中 也會提到電力與磁力等之等速率圓周運動 讓我們來看一下這個題目： 有一質量為m之小珠 串於Y形桿上 該Y形桿繞鉛直軸旋轉 使小珠維持於一固定長度h處 若小珠與Y形桿間無摩擦 則Y形桿旋轉的角速率ω為何？ 若小珠與Y形桿間無摩擦 則小珠受到兩個施力 分別是正向力與重力 其合力等於向心力 可以利用力學解題方式 將水平方向訂為x軸 鉛直方向為y軸 則兩方向合力可以表示成這樣 將兩式相除 並把r等於h sinθ代入 就可得到ω 接著是簡諧運動 即為振動 我們可以將簡諧運動 視為等速率圓周運動在水平方向的投影 包含位置、速度與加速度的投影 用以參考的等速率圓周運動 稱之為參考圓 此運動半徑為R 角速度ω 畫面即為投影結果 利用投影方式 可得到簡諧運動的物理量之時間函數 從這三式我們知道R為參考圓的半徑 亦為簡諧運動的振幅 即最大的位移量值 ω則同時為簡諧運動與參考圓之角速度 我們可以瞭解到簡諧運動的運動特性 1.平衡點 在位移為零的位置 稱為平衡點 2.端點 在位移達到最大的位置 稱為端點 3.在平衡點 速度大小達到最大 且加速度為零 4.在端點 速度為零 加速度量值達到最大 由加速度與位置的函數式 可以得到兩者之關係式 此式代表若物體的加速度與位置大小成正比 且方向相反 即成為簡諧運動 例如物體僅受水平彈簧施力 與牛頓第二定律結合 即與簡諧運動的條件相同 並從角速度得到週期 透過水平彈簧 我們就可以知道簡諧運動過程中的物理性質 另一個簡諧運動常見的例子是小角度單擺 以平衡點O為原點 且當θ很小時 d約等於弧長x 計算後得到角速度以及週期 實際上 在處理簡諧運動最重要的物理量就是R與ω 從上述兩個例子可以發現 當找出加速度與位置關係後 就能求得角速度ω 進而求得週期T 而R的部分 與運動的初始條件有關係 如水平彈簧的簡諧運動中 若一開始將彈簧拉長20公分釋放 則振幅便為20公分 若拉長50公分釋放 則振幅R為50公分 R需要由題目提供的條件來決定 我們來看以下例子 在光滑水平面上 將彈性常數k為每公尺100牛頓的彈簧左端 固定於牆上 右端連接質量25公斤的物體 於平衡位置將彈簧壓縮100公分後釋放 此物體開始作簡諧運動 求：1.振幅、週期及最大速度 2.物體自平衡點向左移動50根號2公分 所需最短時間？ 首先 振幅R可以由初始條件決定 物體於平衡位置 將彈簧壓縮100公分後釋放 代表振幅為100公分 根據水平彈簧受力情形可以得知角速度ω 週期則為ω分之2π 最大速率則可以表示為Rω 因簡諧運動非等加速度或等速運動 我們無法直接求得運動過程的某一段時間 因此要利用參考圓的等速率性質進行計算 利用參考圓畫出物體移動的狀況 如圖所示 相當於參考圓的角位移 得知θ等於45度 計算後得到所需時間 我們來思考一下這個問題 而萬有引力定律的部分 首先是牛頓於1687年 在《自然哲學的數學原理》提出了萬有引力定律： 「宇宙中帶有質量的物體都會相互吸引 引力的量值和兩物體的質量乘積成正比 和兩者間距離平方成反比。」 萬有引力也常稱為重力 公式為F等於r平方分之GMm 其中G為重力常數或稱萬有引力常數 其値為6.67乘以10的負11次方 是在西元1798年 才被英國物理學家卡文迪西經扭秤實驗所測得 在使用公式要注意 r為兩質點或球體中心之距離 並不一定是兩物體質心間的距離 也就是說 若非球體形狀的兩物體之間萬有引力 並非利用質心間的距離當作r 是利用積分方式 計算每個質點與質點間萬有引力的累加 在衛星運動方面 若衛星進行等速率圓周運動 則代表萬有引力提供作為向心力 其受力關係式為Fg等於Fc 將萬有引力公式與向心力公式整理後 可以得到衛星運動之物理量 目前衛星種類中 較為常見的是同步衛星 如GPS衛星 同步衛星指的是一種在赤道上空運轉的衛星 其繞行地球的週期和地球自轉週期相同 由地球上的人觀之 這種人造衛星 會在空中的同一位置上保持靜止不動 稱為「地球同步衛星」 簡稱「同步衛星」 因為需要和地球週期同步 因此同步衛星的週期為86400秒 利用公式計算後可以得到 同步衛星軌道半徑約為42000公里 與地表距離約為35600公里 我們來總結一下這支影片的學習內容 等速率圓周運動中 合力等於向心力FC 向心力的計算方法 與各物理量之關係如畫面所示 簡諧運動 可以視為等速率圓周運動的水平投影 其條件為a等於負的ω平方x 而常用的計算公式如下 萬有引力定律公式為r平方分之GMm 在衛星運動中 萬有引力作為向心力使用 可以得到常用公式如下 關於週期運動的重點就到這邊了 我們下次見 bye bye