力學能 顧名思義此能量與施力有關 我們知道能量有很多不同的形式 如果是利用施力進行能量轉移 稱為「作功」 功的物理量代號為W 其定義為力與位移的内積 從關係式中可以發現 作功W是內積的結果 是一種純量 而且包含正負 對系統而言 作正功代表施力給予系統能量 也就是系統得到能量 作負功代表施力汲取系統能量 也就是系統失去能量 力與位移的内積公式如畫面所示 其中theta代表著力與位移兩向量的夾角 從關係式中我們也可以分析 在什麼情況下無法作功 也就是作功為零呢？ 從關係式中可以看出有三種可能： 施力為零、位移為零、 或是關係式中的cosθ為零 其中角度為90度 代表施力與位移垂直 因角度垂直而使其作功為零的例子 常見的有： 單擺繩張力不作功、 正向力與位移垂直不作功等 根據「功能定理」 系統得到或失去能量 會表現在動能變化上 也就是：W等於delta Ek 合力對系統作正功 系統得到能量 動能增加 合力對系統作負功 系統失去能量 動能減少 須注意這邊指的力是「合力」 功能定理與衝量動量定理非常相似 其差異性與相似點如畫面所示 比較重要的一點是 動能是純量 恆大於等於零 動量是向量 常利用正負號表示其方向性 而計算作功的方式有三種： 第一種 定力作功 若單一施力為「定力」 可以直接利用畫面中的公式來計算 第二種 力與位置有關 若力與物體位置相關 可以利用力與位置之關係圖中的面積 計算作功 只是此處須注意 面積建議僅計算大小 正負號再利用力與位移的方向關係 進行判斷 兩者同方向為正 反方向則為負 第三種 利用功能定理 若題目僅提供系統或物體的動能變化 或其前後速度 即可以利用「速度」計算動能 這個差值即為合力作功 假設此合力由A、B、C三個力所組成 其中A、B兩力的作功 可以利用上面兩種方法 先計算出其值 再利用合力作功 減掉A、B兩力作功 就能獲得C力作功 如圖所示 一物體的質量為m 沿固定斜面 以速率v 從斜面上的A點上滑至B點後 再滑回至A點 此時其速率變為二分之v 已知上滑的最大距離為d 則動摩擦力為多少呢？ 從此題可以發現 位移為零 但是動能卻有變化 根據功能定理 應有外力作功 且因動能減少 合力作負功 對物體而言 總共會受三個力的作用 分別是重力、正向力與摩擦力 其中重力與正向力在此過程中保持定值 因此位移等於零 作功亦為零 而摩擦力在整個過程中並非定力 此時大小固定 方向改變 因此可以將摩擦力分成兩階段 上滑與下滑 上滑過程即可將摩擦力視為定力 作功為負fkd 下滑過程亦是如此 作功即為負fkd 故整個過程摩擦力作功為負2fkd 再利用功能定理 即可算出動摩擦力大小如畫面所示 從上述範例 可以瞭解到不同計算作功的方式 接著回到力學能 力學能指的是動能與位能 動能的物理量代號為K或Ek 關係式如畫面所示 可以理解為 系統或物體運動所代表的能量 質量越大或速度越快 動能越大 與運動方向無關 僅與速度大小有關 位能部分 在高中階段學習過3種位能 4種形式 如畫面所示 此三種位能皆有特性須注意 彈性位能 不管其形變為壓縮或拉長 彈性位能恆大於零 可記口訣為「凡形變必儲存位能」 重力位能 在地表附近使用地表式Ug等於mgh 通常與地表的距離到達30公里以上 就必須使用一般式 若使用一般式 Ug等於負r分之GMm 因為常使無窮遠處為零 故一般式的重力位能恆為負 而地表式的正負則為與零位面有關 比零位面高則為正 比零位面低則為負 但不管地表式還是一般式 皆為距離越遠 位能越高 電位能Uq等於r分之kQq 非常重要的一點是 其Q與q包含正負號 若以無窮遠為零 Q與q同號 則電位能恆為正 Q與q若為異號 則恆為負 從這裡應該可以發現 重力位能一般式與電位能形式相似 其特性「若兩者為吸引力 則位能恆為負 若兩者為排斥力 則位能恆為正」 從上述可以發現 並非任何力皆有位能 可以利用位能差表示作功的力 稱之為保守力 在高中階段所學習的保守力共有三種 即為彈力、重力、與靜電力 保守力的性質為其施力所做的功 僅與物體的起點與終點的位置有關 與運動軌跡無關 也就是不管以什麼樣的運動軌跡 若起點與終點相同 若此力做功亦固定 則為保守力 保守力的作功 也可以利用另外一個角度分析 保守力作功可以視為 位能與動能之間能量轉移的橋樑 舉例來說 物體僅受到重力 進行靜止自由落體運動 位能逐漸變少 動能逐漸增加 之所以有這樣的變化 可以利用重力作功 將重力位能轉移至動能 若以數學式表示則如畫面所示 也就是說 我們如果將系統的動能與位能合在一起看 保守力只是在內部進行能量轉移 即為「系統僅受到保守力作功 則力學能守恆」 若只考慮動能變化 也可以使用功能定理 若有非保守力作功 建議使用功能定理 須注意 保守力作功與位能變化為同一件事 常見出現保守力作功 動能增加 位能減少 動能亦增加 造成動能增加的數值過多 因此 功能定理與力學能守恆 需選擇一個方法使用 在分析系統運動時有兩種方法： 使用位能時： 可用「力學能守恆」如畫面公式 若系統僅受到保守力作功 則建議用此方式分析 不使用位能時： 可用「功能定理」 W等於delta Ek 若系統有受到非保守力作功 則建議使用此方式 以簡諧運動的力學能為例 因為物體僅受到彈力作功 也就是保守力作用 所以力學能守恆 其力學能如畫面所示 其中v max 為運動過程中的速度最大值 R為振幅 衛星繞行地球進行等速率圓周運動 其重力位能須使用一般式表示 故力學能如畫面所示 讓我們來思考一下畫面這個問題 若要使物體能夠到達斜面最高點R 外力F量值至少需為多少呢？ 讓我們來總結一下這支影片的學習內容 作功的定義為： W等於F乘以delta x 再乘以cosine theta 位能的種類有四種 分別是彈性位能 Us等於二分之一kx平方 重力位能的地表式Ug等於mgh 一般式Ug等於負r分之GMm 而電位能Uq等於r分之kQq 力學能守恆的條件為： 若系統僅有保守力 也就是彈力、重力與靜電力作功 則系統的力學能守恆 而且須留意的是 保守力作功與位能變化為同一件事 在計算題目時 功能定理與力學能守恆 只需要選擇一個方法使用即可 今天的課程到此結束 我們下次見 Bye bye