高一初學三角函數時

曾計算過30度 45度 60度

等特殊角的三角函數值

那對於可以寫成上述兩者之差或之和的角度

例如15度等於45度減30度

等於60度減45度

以及75度等於45度加30度

它們的三角函數值又該如何計算呢

首先讓我們來看看下面的例子

試求 cos15度等於多少

上面的計算方式雖然可以讓我們求得cos15度

過程卻相對繁瑣

或許我們應該找尋其他更為便利的方法

對於一般的廣義角α β

我們好奇能不能將兩者的和

兩者的差所對應出的三角函數值

sin

sin

cos

cos

tan

tan

用原本的三角函數

sin α sin β cos α cos β tan α tan β來表示

找出它們的對應公式

這一次的內容

將先進行以sin α sin β cos α cos β

來表示cos cos的研究

這個過程分成兩個步驟

1.利用餘弦定理得到餘弦函數的差角公式

cos = cos α cos β + sin α sin β

2.利用上面的差角公式

及正弦和餘弦函數的負角關係

sin = –sin θ與cos = cos θ

得到餘弦函數的和角公式

cos = cos α cos β – sin α sin β

我們先來證明餘弦函數的差角公式

cos = cos α cos β + sin α sin β

證明

以原點O為圓心繪製單位圓

並在上面取兩點 A

B

當A點與B點不重合

且A O B三點不共線時

A O B形成一個三角形

且角AOB是α – β 或 β – α的一個同界角

無論是哪一個

利用負角關係我們都知道

整理得到

至於當A點與B點重合

α與β為同界角

或A O B三點共線

α與β加180度為同界角時

也可以很容易地驗證上面的公式

你看利用公式是不是比幾何畫圖來得快速簡潔呢

在高一初學三角函數時

我們知道對於廣義角θ有負角關係

sin = –sin θ

cos = cos θ

這是由於θ和–θ的終邊

是相對於x軸的對稱圖形

若在各自的終邊上任取相對稱的兩點P P'

其x坐標相同

y坐標正負號相反

由廣義角三角函數的定義可知

sin = –sin θ

cos = cos θ

接下來我們想證明餘弦函數的和角公式

cos = cos α cos β – sin α sin β

證明

我們將α + β 表示成α + β = α –

並將其中的 –β 看成是一個廣義角

這就是我們要證明的餘弦函數的和角公式

下一次我們將透過餘弦函數的和角公式

推導出正弦函數的和角公式

sin = sin α cos β + cos α sin β

更進一步地再推導出正弦函數的差角公式

正切函數的和角與差角公式