在上次我們介紹了餘弦函數的和角與差角公式 cos等於cos α cos β減sin α sin β cos等於cos α cos β加sin α sin β 這一次我們將透過餘弦函數的和角公式 推導出正弦函數的和角公式 sin等於sin α cos β加cos α sin β 更進一步地再推導出 正弦函數的差角公式 正切函數的和角與差角公式 我們先來試試看下面的例題 試求sin 15度等於多少 透過餘角關係我們有 sin 15度等於cos等於cos 75度 我們可以運用上次提到的餘弦函數的和角公式 得到cos 75度等於cos 等於cos 45度 cos 30度減sin 45度 sin 30度 等於根號2分之1乘以2分之根號3 減掉根號2分之1乘以2分1 等於4分之根號6減根號2 所以sin 15度等於4分之根號6減根號2 上面的計算方式提供一個想法 如果將本來要計算的正弦函數值 透過餘角關係改成計算餘弦函數值 能不能以此方式推導出 正弦函數的和角公式以及差角公式呢 我們先來試試看正弦函數的和角公式 設α β為兩廣義角 則sin等於sin α cos β加cos α sin β 由餘角關係可知 對任意廣義角θ而言 都有sin θ等於cos 令θ等於α加β 得到sin等於cos) 等於cos減β) 利用上次介紹到餘弦函數的差角公式 可以得到cos減β) 等於cos cos β加sin sin β 接著又利用餘角關係 有cos等於sin α sin等於cos α 將上面式子中的 cos 和sin 取代掉後 我們可以得到 sin等於sin α cos β加cos α sin β 這就是我們要證明的正弦函數的和角公式 我們接著試試看正弦函數的差角公式 設α β為兩廣義角 則sin等於sin α cos β減cos α sin β 我們將α減β改寫成α加 接著再利用剛剛所證明得到的 正弦函數的和角公式 可以得到sin等於sin) 等於sin α cos 加cos α sin 我們知道對於廣義角θ有負角關係 sin等於–sin θ cos等於cos θ 於是得到正弦函數的差角公式 sin等於sin α cos β減cos α sin β 讓我們在這邊稍微複習一下 目前得到的四個和角公式與差角公式 在記憶方面注意到 sin的分解都是sin cos cos sin的形式 而cos的分解都是cos cos sin sin的形式 正負號方面 可以看得出在公式中的sin保留原本的正負號 而cos將正負變號 這和影片剛開始的作法不同 但都能得到相同的答案喔 對於一個廣義角θ 只要知道cos θ不等於0 我們知道有商數關係 tan θ等於cos θ分之sin θ 於是我們可以由商數關係 和角公式 得到tan等於cos分之sin 等於cos α cos β減sin α sin β分之 sin α cos β加cos α sin β 分子與分母同時除以cos α cos β 便可以得到 1減cos α cos β分之sin α sin β 分之cos α sin α加cos β sin β 再運用商數關係整理得 1減tan α tan β分之tan α加tan β 於是tan等於 1減tan α tan β分之tan α加tan β 這就是正切函數的和角公式 當然我們也可以由商數關係 差角公式得到 tan等於cos分之sin 等於cos α cos β加sin α sin β分之 sin α cos β減cos α sin β 等於1加cos α分之sin α 乘cos β分之sin β 分之cos α分之sin α 減cos β分之sin β 等於1加tan α tan β分之tan α減tan β 這就是正切函數的差角公式 tan等於 1加tan α tan β分之tan α減tan β 我們也可以利用正切函數的和角公式 負角關係 來推導出正切函數的差角公式 你知道該怎麼作嗎 另外如果要求tan 75度的值 你能夠用商數關係來求出答案嗎 或者你能夠用正切函數的和角公式 來求出答案嗎 至目前為止我們已經完成了 和角公式與差角公式的證明 在這邊將這些公式再整理一次 對於任意的廣義角α β 它們的相加與相減 我們都找到公式可以計算出 所對應的正弦值 餘弦值 正切值 如果此時只考慮相同的角累加 角變成原本的二倍 三倍等等 又會發生什麼事呢 這一次我們統整了正弦函數 餘弦函數 正切函數的和角公式與差角公式 下一次我們將進入到倍角公式與半角公式