在上次我們已經介紹了正弦函數 餘弦函數 正切函數的和角公式 與差角公式 在這邊將這些公式再複習一次 1.正弦函數的和角公式 sin等於sin α cos β加cos α sin β 2.正弦函數的差角公式 sin等於sin α cos β減cos α sin β 3.餘弦函數的和角公式 cos等於cos α cos β減 sin α sin β 4.餘弦函數的差角公式 cos等於cos α cos β加sin α sin β 5.正切函數的和角公式 tan等於1減tan α tan β分之tan α加tan β 6.正切函數的差角公式 tan等於1加tan α tan β分之tan α減tan β 這次的目標是推導出 正弦函數 餘弦函數 正切函數的倍角公式 我們先來試試看下面的例題 設θ為一銳角 滿足sin θ等於5分之3 試求sin 2θ等於多少 解答 因為θ是銳角 利用平方關係 可計算得到 cos θ等於根號1減sin平方θ 等於根號1減5分之3的平方 等於5分之4 利用正弦函數的和角公式 可以得到 sin 2θ等於sin θ加θ 等於sin θ cos θ加cos θ sin θ 等於5分之3乘以5分之4 加5分之4乘以5分之3 等於25分之24 我們再次檢視正弦函數的和角公式 sin等於sin α cos β加cos α sin β 希望藉此推導出倍角公式 在上面的例題中 這個作法已經顯而易見了 如果我們將其中的α和β 都換成θ 就會得到 sin 2θ等於sin 等於sin θ cos θ加cos θ sin θ 等於2sin θ cos θ 也就是正弦函數的倍角公式 sin 2θ等於2sin θ cos θ 往後我們可以透過上面公式來計算sin 2θ 同樣地我們也可以透過餘弦函數的和角公式 得到它的倍角公式 正切函數的和角公式 來得到倍角公式 餘弦函數的和角公式 cos等於cos α cos β減sin α sin β 如果我們將其中的α和β都換成θ 就會得到 cos 2θ等於cos 等於cos θ cos θ減sin θ sin θ 等於cos平方θ減sin平方θ 如果再運用平方關係 sin平方θ等於1減cos平方θ 將sin平方θ替換掉 就有cos 2θ等於cos平方θ減sin平方θ 等於cos平方θ減括號1減cos平方θ 等於2cos平方θ減1 同樣地運用平方關係 cos平方θ等於1減sin平方θ 將cos平方θ替換掉 就有cos 2θ等於cos平方θ減sin平方θ 等於括號1減sin平方θ減sin平方θ 等於1減2sin平方θ 整理一下我們有餘弦函數的倍角公式 cos 2θ等於cos平方θ減sin平方θ 等於2cos平方θ減1 等於1減2sin平方θ 當tan α tan β不等於1時 正切函數的和角公式 tan等於1減tan α tan β分之tan α加tan β 如果我們將其中的α和β都換成θ 就會得到 tan等於1減tan θ tan θ分之tan θ加tan θ 等於1減tan平方θ分之2tan θ 整理一下當tan平方θ不等於1時 我們有正切函數的倍角公式 tan 2θ等於1減tan平方θ分之2tan θ 注意到了嗎 從影片的第一個例題與上面的例題 都能發現國中所學到的 7 24 25直角三角形的次大的銳角 其實就是3 4 5直角三角形的最小角的兩倍 再來要推導三倍角公式 這個推導的技巧是在和角公式中 令α等於2θ及β等於θ 並運用和角公式與倍角公式來推出結果 正弦函數的三倍角公式 設θ為一廣義角 則sin 3θ等於3sin θ減4sin三次方θ 證明 sin 3θ等於sin 等於sin 2θ cos θ加cos 2θ sin θ 等於括號2sin θ cos θ乘以cos θ 加上括號1減2sin平方θ乘以sin θ 等於2sin θ乘以括號1減sin平方θ 加上sin θ減2sin三次方θ 等於2sin θ減2sin三次方θ 加sin θ減2sin三次方θ 等於3sin θ減4sin三次方θ 得證 餘弦函數的三倍角公式 設θ為一廣義角 則cos 3θ等於4cos三次方θ減3cos θ 證明 cos3θ等於cos 等於cos 2θ cos θ減sin 2θ sinθ 等於括號2cos平方θ減1乘以cos θ 減掉括號2sin θ cos θ乘以sin θ 等於2cos三次方θ減cos θ 減2倍的括號1減cos平方θ cos θ 等於2cos三次方θ減cos θ 加2cos三次方θ減2cos θ 等於4cos三次方θ減3cos θ 得證 我們也可以利用倍角公式和三倍角公式 求出更多特殊的角的三角函數值 截至目前為止 我們已經完成了倍角公式與三倍角公式的證明 在這邊將這些公式再整理一次 這一次我們從和角公式到倍角公式 下一次我們將進入半角公式