在上次我們已經介紹了

正弦函數

餘弦函數

正切函數的倍角公式

在這邊將這些公式再複習一次

1.正弦函數的倍角公式

sin 2θ等於2sin θ cos θ

2.餘弦函數的倍角公式

cos 2θ等於cos平方θ減sin平方θ

等於2cos平方θ減1

等於1減2sin平方θ

3.正切函數的倍角公式

tan 2θ等於1減tan平方θ

分之2tan θ

tan平方θ不等於1

這次的目標是推導出

正弦函數

餘弦函數

正切函數的半角公式

我們先來試試看下面的例題

上面的例題中

我們利用餘弦函數的倍角公式

將公式中的θ置換成2分之θ

便可以仿照上面的方式解方程式

透過已知的cos θ得到sin 2分之θ

cos 2分之θ

tan 2分之θ

這樣的關係我們稱為半角公式

我們來試著推導看看

正弦函數的半角公式

設θ為一角

則sin 2分之θ等於+-根號2分之1減cos θ

由餘弦函數的倍角公式得

cos θ等於1減2sin平方2分之θ

移項之後可以得到

sin平方2分之θ等於2分之1減cos θ

所以sin 2分之θ等於+-根號2分之1減cos θ

這個結果可能是正可能是負

這取決於2分之θ

餘弦函數的半角公式

設θ為一角

則cos 2分之θ等於+-根號2分之1加cos θ

由餘弦函數的倍角公式得

cos θ等於2cos平方2分之θ減1

移項之後可以得到

cos平方2分之θ等於2分之1加cos θ

所以cos 2分之θ等於+-根號2分之1加cos θ

同樣地這個結果的正負值取決於2分之θ

如果要求正切函數的半角公式

我們可以透過商數關係來尋求答案

也就是tan 2分之θ等於

cos 2分之θ分之sin 2分之θ

再將剛剛得到的正弦函數

及餘弦函數的半角公式代進去

我們就可以得到正切函數的半角公式了喔

正切函數的半角公式

設θ為一角

則tan 2分之θ等於+-根號

1加cos θ分之1減cos θ

其中cos θ不等於-1

由商數關係可得

tan 2分之θ等於

cos 2分之θ分之sin 2分之θ

等於+-根號2分之1加cos θ

分之+-根號2分之1減cos θ

如果分子和分母同號時

其值為正

如果分子和分母異號時

其值為負

因此我們可以進一步簡化得

+-根號2分之1加cos θ

分之+-根號2分之1減cos θ

等於+-根號1加cos θ分之1減cos θ

也就是說tan 2分之θ等於

+-根號1加cos θ

分之1減cos θ

其中cos θ不等於-1

同樣地這邊的正負號取決於2分之θ

我們使用半角公式時

尚須透過2分之θ來判斷所求的值

是正還是負

不妨用一些特殊的角度代進去試試看喔

起初我們從餘弦定理

證明了餘弦函數的差角公式

接著透過適當地角度代換

求得正弦函數的和差角公式

餘弦函數的和差角公式

又透過商數關係

求得正切函數的和差角公式

接著我們透過和角公式

得到倍角公式

甚至再結合兩者

得到三倍角公式

又透過餘弦函數的倍角公式

得到半角公式

這樣按部就班一步一腳印

不正使數學的路更踏實穩固嗎