截至目前為止 我們已經介紹了正弦函數 餘弦函數 正切函數的和差角公式 倍角公式 半角公式 而有些題目可能不只有一種解法 以前我們曾經使用過正弦定理 或餘弦定理所處理過的題目 或許搭配這些三角比公式 會變得更為容易 我們先來複習一下 正弦定理及餘弦定理 正弦定理 設三角形ABC中 a b c分別為角A 角B 角C的對邊 R為外接圓半徑 則有sin A分之a 等於sin B分之b 等於sin C分之c 等於2R 透過上式推導出a比b比c 等於sin A比sin B比sin C 餘弦定理 若三角形ABC中 a b c分別為角A 角B 角C的對邊 則如果給定兩邊與它們的夾角 可以利用a平方等於b平方加c平方 減2bc cos A 如果給定三邊的邊長 而想計算某一個夾角的餘弦值 可以利用cos A等於 2bc分之b平方加c平方減a平方 設三角形ABC為一等腰直角三角形 角BAC等於90度 若P Q為斜邊線段BC的三等分點 則tan角PAQ等於多少 不妨設線段BC等於6 設D為線段BC的中點 同時為A在線段BC上的垂足 我們可以知道 線段PD等於線段DQ等於1 線段AD等於3 由畢氏定理計算得 線段AP等於線段AQ 等於根號1平方加3平方 等於根號10 利用餘弦定理計算得 cos角PAQ等於 2乘以線段AP乘以線段AQ 分之線段AP的平方 加線段AQ的平方 減線段PQ的平方 等於2乘以根號10乘以根號10 分之根號10的平方加根號10的平方 減2平方 等於5分之4 於是sin角PAQ等於5分之3 所求tan角PAQ等於 cos角PAQ分之sin角PAQ 等於4分之3 上面的例題中 所採用的核心觀念是餘弦定理 然而運用正切函數的倍角公式 也可以做得出來 讓我們先復習一下這些公式 1.正切函數的和角公式 tan等於1減tan α tan β 分之tan α加tan β 其中tan α tan β不等於1 2.正切函數的差角公式 tan等於1加tan α tan β 分之tan α減tan β 其中tan α tan β不等於-1 3.正切函數的倍角公式 tan 2θ等於1減tan平方θ分之2tan θ 其中tan平方θ不等於1 可先計算求得tan角PAD 等於tan角QAD 等於3分之1 所求tan角PAQ等於tan2角PAD 等於1減tan平方角PAD 分之2tan角PAD 等於1減3分之1的平方 分之2乘以3分之1 等於4分之3 怎麼樣 你比較喜歡哪一種作法呢 在三角形ABC中 M為線段BC邊之中點 若線段AB等於3 線段AC等於5 且角BAC等於120度 則tan角BAM等於多少 我們可以透過餘弦定理求得 線段BC等於7 考慮三角形ABC的三個邊長 可利用餘弦定理求出cos B 再考慮三角形ABM 亦可利用餘弦定理寫出cos B 也就是cos B等於2乘以3乘以7 分之3平方加7平方減5平方 等於2乘以3乘以2分之7 分之3平方加2分之7的平方 減線段AM的平方 藉此來求出中線長度 線段AM等於2分之根號19 最後利用餘弦定理 得cos角BAM等於 2乘以線段AB乘以線段AM 分之線段AB的平方 加線段AM的平方 減線段BM的平方 等於2根號19分之1 再利用平方關係求得sin角BAM 以及商數關係求得 tan角BAM等於5根號3 在上面的題目中 可以將三角形ABC放置於坐標平面上 A點 B點 C點 即C點 因為M為線段BC邊之中點 可知其坐標為M 即M點 而我們知道所求tan角BAM 實際上就是直線AM的斜率 也就是tan角BAM等於 4分之1減0分之 4分之5根號3減0 等於5根號3 怎麼樣 你比較喜歡哪一種作法呢 正餘弦定理和三角比公式 有時能夠相輔相成 必須要兩者同時使用才可以解題 在此我們先來複習一下倍角公式 1.正弦函數的倍角公式 sin 2θ等於2sin θ cos θ 2.餘弦函數的倍角公式 cos 2θ等於cos平方θ減sin平方θ 等於2cos平方θ減1 等於1減2sin平方θ 已知三角形ABC中 線段AB等於2 線段BC等於3 且角A等於2倍角C 則線段AC等於多少 利用正弦定理 sin C分之線段AB 等於sin A分之線段BC 若設角C等於θ 則角A等於2θ 並將題目中的線段AB等於2 線段BC等於3代入上式 得sin θ分之2等於sin 2θ分之3 利用正弦函數的倍角公式 sin 2θ等於2sin θ cos θ sin θ分之2等於2sin θ cos θ分之3 整理得cos θ等於4分之3 利用餘弦函數的倍角公式 cos 2θ等於2cos平方θ減1 等於2乘以4分之3的平方減1 等於8分之1 也就是cos A等於8分之1 利用餘弦定理 cos A等於2乘以線段AB乘以線段AC 分之線段AB的平方 加線段AC的平方 減線段BC的平方 得到8分之1等於 2乘以2乘以線段AC 分之2平方加線段AC的平方 減3平方 整理得 2線段AC的平方減線段AC減10等於0 於是括號2線段AC減5 乘以括號線段AC加2 等於0 解得線段AC等於2分之5 我們可以發現 正餘弦定理和三角比公式 各司其職並且相輔相成 像上面題目中 利用了正弦定理 餘弦定理 正弦函數的倍角公式 餘弦函數的倍角公式 不是很奇妙嗎 最後我們將這些三角比公式再整理一次 利用圓內接四邊形對角互補 再搭配餘弦定理可以解題 或者運用和角公式 計算出sin角ABC後 再以正弦定理解題 再或者運用和角公式 計算出cos角ABC再以餘弦定理解題 不知道你比較喜歡哪一種方法呢 或者你還有別的方法嗎 運用正餘弦定理或三角比公式 或者綜合運用兩者 都讓整個三角解題變得更加地有趣啊 再看一次影片剛開始的正餘弦定理 以及最後重點複習的三角比公式 你會對它們更能融會貫通喔