在進行單元前

先複習一下先前的知識

可以讓今天的學習更順利喔

完成下表中度與弳的換算

30度可以換算成6分之π弳

4分之π弳可以換算成45度

90度可以換算成2分之π弳

3分之2π弳可以換算成120度

135度可以換算成4分之3π弳

150度可以換算成6分之5π弳

今天我們來討論

如果已知扇形所對應的弧度和半徑

就可以計算該扇形的弧長

周長與面積

如圖 已知扇形COD的圓心角

角COD為θ弳

θ大於等於0

小於2π

半徑OC等於r

討論扇形的弧長與周長

設弧CD長度為s

因為弧長與所對應的圓心角大小成正比

而圓的圓心角是2π弳

且所對應的圓周長是2πr

故有2π分之θ等於2πr分之s

則s等於rθ

當然扇形的周長

線段OC加線段OD加弧CD

等於r加r加rθ

等於2r加rθ

討論扇形的面積

設扇形COD的面積為A

因為扇形面積與所對應的圓心角大小成正比

而圓的圓心角是2π弳

且所對應的面積是πr平方

故有2π分之θ等於πr平方分之A

則A等於2分之1r平方θ

同學需要注意上述θ是以弳為單位

試著練習看看吧

例題1

已知一扇形半徑為12公分

圓心角為45度

試求此扇形的周長及面積

解答

先將角度換算成弳

45度等於45乘以180分之π弳

等於4分之π弳

因弧長為rθ

等於12乘以4分之π

等於3π

故周長為2乘以12加3π

等於24加3π公分

而扇形面積為A

等於2分之1r平方θ

等於2分之1乘以12平方乘以4分之π

等於18π平方公分

有同學會想說

以練習1扇形的半徑為10公分

圓心角為72度

扇形的弧長可以想成

圓心角為72度是五分之一的圓

所以弧長就是五分之一的圓周長

為5分之1乘以2πr

等於5分之1乘以20π

等於4π

那我就用以前的想法就好

為何還需要把圓心角換算成弧度制呢

我們來看看下面這個問題

給定一個周長為10公分的繩子

怎樣的條件可以圍出最大面積的扇形

是不是就不容易使用過去的想法

看一下下面的解法

同學注意到了嗎

上述解法使用的算幾不等式

也需在實數上面討論

所以弧度制就是把角度弄成實數表示

未來同學在解決扇形一些問題上

也會使用弳去討論

根據扇形的弧長與面積公式

我們可以計算更多

與扇形有關的幾何圖形之面積

例題2

如圖 已知圓O的半徑為2公分

且角AOB等於60度

求鋪色區域的面積

解答

最後結束前

同學試著算算看這一題

看看是不是把今天的觀念都學會了

如果等一下對答案發現有問題

建議同學再看一次影片喔

或是找老師協助喔