我們在高一的時候

有學到函數的概念

舉例來說

假設在筆直的道路上

汽車在距離紅綠燈75公尺內的這段時間

行走的時間x秒

與汽車位移y公尺的關係式為

y等於-0.75x平方加15x

其中x大於等於0小於等於10

此時x與y有一個對應關係

當給定一個介於0到10秒之間的行走時間x秒

都能得到唯一個汽車位移y公尺

像這樣的對應關係

我們就稱為函數

簡單來說

就是有兩個變數x與y

當給定x的值時

都有一個且只有一個y值對應

那我們稱這樣對應關係為

y是x的函數

其中x是自變數

y是應變數

若此函數我們稱為f

則以y等於f表示

將所有滿足函數y等於f的x y

以數對為坐標形式

描繪在坐標平面上所成圖形

我們稱為y等於f的函數圖形

而函數的圖形可以將函數的對應關係

由抽象轉為具體

有助於我們掌握函數的變化及特性

根據函數的定義

如螢幕上的左圖

每一條鉛直線和函數圖形

至多有一個交點

此圖形為函數圖形

螢幕上的右圖

有一條鉛直線與圖形不只有一個交點

此圖形不是函數圖形

答案為

前面提到

我們可以藉由函數的圖形

進一步掌握函數的變化及特性

例如函數圖形的遞增遞減性質

若函數y等於f

在某一個區間隨著x值增加

其對應的函數值y亦隨之增加

我們就說y等於f在該區間

為嚴格遞增

反之若函數y等於f在某一個區間

隨著x值增加

其對應的函數值y隨之減少

我們就說y等於f在該區間

為嚴格遞減

如螢幕中我們可以看到函數y等於f圖形

在a和b之間

及c和d之間

隨著x值增加

其對應的函數值y是增加的

所以是嚴格遞增

而y等於f圖形在b和c之間

及d和e之間

隨著x值增加

其對應的函數值y是減少的

所以是嚴格遞減

關於函數圖形的遞增遞減性質

我們目前就僅能從函數圖形來觀察

更詳細的內容

我們會在高三微積分的單元

有進一步的說明喔

接下來我們要來介紹函數圖形的對稱性

常見的函數圖形對稱性分成兩類

一個是點對稱

另一個是線對稱

在高一的時候

我們有介紹過點對稱的觀念

最典型的例子就是

y等於f等於x的三次方的函數圖形

我們從表格及函數圖形中發現

y等於x的三次方函數圖形

是以為對稱中心

也就是y等於x三次方函數圖形上

任一點相對於的對稱點為

且也在y等於x三次方的函數圖形上

由前面的例子得知

當我們推廣至一般函數

只要函數y等於f滿足

f等於-f條件

像y等於x三次方

y等於ax三次方加px

其中a不等於0等

由中點公式可得到

y等於f函數圖形

就是以為對稱中心的點對稱圖形

我們特別把滿足

f等於-f條件的函數f

稱為奇函數

若函數f為奇函數

則f的函數圖形對稱於原點

我們接下來介紹線對稱的觀念

最常見的例子就是y等於f

等於x的平方的函數圖形

我們從表格及函數圖形中發現

y等於x平方函數圖形

是以y軸為對稱軸

也就是y等於x平方函數圖形上任一點

相對於y軸的對稱點為

且也在y等於x平方的函數圖形上

同樣地當我們推廣至一般函數

只要函數y等於f滿足

f等於f的條件

像y等於x平方

y等於ax四次方加px平方

其中a不等於0等

由中點公式可得到

y等於f函數圖形

就是以y軸為對稱軸的線對稱圖形

我們特別把滿足f等於f條件的函數

f稱為偶函數

若函數f為偶函數

則f的函數圖形對稱於y軸

生活中有許多周而復始的規律現象

也就是每隔一個固定時間

就會重複相同現象

例如 摩天輪持續的運轉

月亮月相的變化

物理學中的簡諧運動等

這些現象被稱為週期現象

在科學上我們常利用函數來模擬這些週期現象

而這些函數我們稱為週期函數

例如 螢幕上這個看起來像心電圖的函數圖形

就是一個週期函數

我們可以看到螢幕上函數圖形

用紅色及黑色來區隔函數圖形的樣子

發現這些區段的圖形是一樣的

也就是每隔一個固定的區間

就會重複前面一段的圖形

我們假設此固定的區間長度為T

由於圖形會重複前面一段區間的圖形

所以當給定x等於x 時

我們可以得到f等於f

因此我們在這裡給一個

週期函數較為嚴謹的數學定義

對於函數y等於f而言

若可以找到正數T

使得每個x都能滿足

f等於f

則稱函數f為週期函數

而滿足上述條件的T中之最小值p

就稱為週期函數f的週期

像螢幕中的這些函數圖形

它們都是週期函數

不知道各位同學看出來了嗎

答案A B C E F

這支影片中

我們介紹了函數圖形的遞增遞減性質

對稱性及週期性

這些也都是我們接下來

所要提到的三角函數圖形中

所擁有的性質喔

下支影片我們將要探討

正弦函數的圖形及相關性質

那麼我們下次再見囉