潮汐漲落是大自然的週期現象 在澎湖七美島的雙心石滬 漲潮與退潮有著不一樣的樣貌 假如能準確地計算出 每日潮汐漲落的時間 就能捕捉到不一樣的樣貌 每日潮汐漲落的時間 是大自然出現的週期現象 我們可以用接下來所要介紹的 三角函數圖形來描述 說到三角函數 它其實就是由三角比轉變過來的 若θ是一個標準位置角 在θ的終邊上任取非原點O的一點P 則我們定義sin θ等於r分之y cos θ等於r分之x 以及tan θ等於x分之y 其中x不等於0 為了將三角比以函數的觀點探討 在前面我們特別將角θ 用另一種度量單位 弧度量來表示 而角度的度度量與弧度量的換算 就是180度等於π弳 當角度以弧度表示時 給定任一個實數x 我們可以將角的大小視為x弳 然後考慮三角比 就可以看成是從實數對應到實數的函數 例如x對應到sin x 是將x弳對應到sin x的函數 也就是y等於sin x 我們稱為正弦函數 描繪函數圖形最直接的方法 就是描點法 我們先對某些特殊的x值 求出y等於sin x的函數值 如螢幕中的表呈現 再利用計算機算出上表中x y的近似值 我們算到四捨五入至小數點後第三位 再將點逐一標示於坐標平面上 如果描點數夠多 並用平滑曲線將這些點連起來 就可以得到y等於sin x 在x大於等於0 小於等於2π上的圖形 我們也可以利用單位圓 來描繪正弦函數的圖形 前面我們有提到 在坐標平面上 以原點O為圓心 作一半徑r等於1的單位圓 再以x軸正向為始邊 作一廣義角θ 因為廣義角θ的終邊 與單位圓的交點P坐標為 所以sin θ是P點的y坐標 接著當θ由0逐漸增加到2π時 P點會繞單位圓一圈 此時P點的y坐標 即sin θ值的連續變化情形 左圖中的線段顏色與長短 對應到右圖中線段來表示 最後利用這些P點的y坐標 就可描繪出函數y等於sin x 在x大於等於0 小於等於2π上的圖形 假如利用電腦軟體 我們可以畫出更精確 更完整的正弦函數圖形 順便一提 對於一個函數f而言 能讓f有意義的所有x所成的集合 我們稱為此函數的定義域 因為對任意實數x sin x都有定義 所以y等於f等於sin x 定義域為全體實數R 從圖形我們可以看到y等於sin x 在x大於等於2π 小於等於4π上的圖形 與在x大於等於0 小於等於2π上的圖形完全相同 其餘範圍以此類推 感覺好像把y等於sin x 在x大於等於0 小於等於2π上所畫的圖形 複製並逐次向右和向左平移 若干個2π單位 就可得到y等於sin x的全部圖形 像這樣圖形會重複出現的函數 我們就稱為週期函數 前一支影片有提到週期函數的定義 如螢幕所呈現 因為對任意的實數x sin x加2π等於sin x 又y等於sin x在x大於等於0 小於等於2π的範圍內的圖形 沒有重複 所以我們稱函數y等於sin x為週期函數 且2π是函數y等於sin x的週期 我們從正弦函數y等於sin x圖形的趨勢 得到以下性質 x從0增加到2分之π時 sin x的值從0增加到1 x從2分之π增加到π時 sin x的值從1減少到0 x從π增加到2分之3π時 sin x的值從0減少到-1 x從2分之3π增加到2π時 sin x的值從-1增加到0 前面我們有介紹一個函數的定義域 那麼在函數y等於f定義域中 所有自變數x所對應的y值所形成的集合 稱為此函數的值域 從正弦函數y等於sin x圖形中觀察 應變數y之範圍為 y大於等於-1 小於等於1 所以正弦函數的值域 為小於等於1 且大於等於-1的實數集合 我們經常會利用正弦函數圖形 來模擬自然界的波 例如水波 聲波等 自然界的波有振幅 而振幅就是波的最高點 及最低點的高度差的一半 所以我們定義正弦函數的振幅 為其最大值與最小值之差的一半 由定義與圖形可知 正弦函數的最大值為1 最小值為-1 函數值在1與-1之間來回震盪 故y等於sin x的振幅為1 從正弦函數的圖形中 我們可以看到週期性 及具有物理學上波的振幅外 還可以看到對稱性 由正弦函數的圖形可看出 y等於sin x之圖形是線對稱 也是點對稱 因為sin 2分之π減x 等於sin 2分之π加x 等於cos x 所以假如點P 在y等於sin x圖形上 那麼點P' 也會在y等於sin x圖形上 反之亦然 因此y等於sin x圖形 對稱於直線x等於2分之π 其實我們可以從y等於sin x圖形來看 通過圖形最高點的鉛直線 像直線x等於2分之π 以及通過圖形最低點的鉛直線 例如直線x等於2分之3π x等於-2分之π 都可以是對稱軸 另外若y等於f等於sin x 由f等於sin -x 等於-sin x等於-f得知 y等於sin x是一個奇函數 因此y等於sin x的圖形對稱於原點 也就是若點 在y等於sin x的圖形上 則點 也在y等於sin x的圖形上 事實上從sin nπ加x等於sin -nπ加x 等於-sin nπ減x及圖形可以看出 圖形與x軸的所有交點 n為整數 皆為對稱中心 正弦函數y等於sin x及其圖形的性質 定義域 全體實數R 值域 y在y大於等於-1 小於等於1之間 且y為實數 振幅為1 週期為2π 對稱性 對稱於鉛直線x等於2分之 括號2n加1π 其中n為整數 對稱於 其中n為整數 各位同學我們這支影片已經介紹了 y等於sin x的函數圖形 下支影片我們將探討更多 正弦函數圖形的變化 包括圖形的平移 伸縮 及其正弦函數表示法的關係 那麼我們下次再見囉