螢幕中是物理電學實驗室裡的示波器

我們從示波器的螢幕裡

觀察電學中交流電的電流

隨著時間變化的圖形

這個圖形看起來像y等於sin x的圖形

經過變形後的樣子

接下來的幾支影片

將要介紹像示波器螢幕中波的圖形

與函數y等於sin x圖形的關聯

以及這樣的波所對應的函數型態

說到圖形的變形

我們回憶高一課程

曾提及y等於x的平方的圖形

可以透過平移 伸縮得到

y等於a乘以括號x減h的平方加k的圖形

因此我們也嘗試著以平移和伸縮的觀點

來看y等於sin x圖形的變形

首先我們來看正弦函數y等於sin x的平移

平移是平面上所有的點

都朝某一個方向移動相同的距離

可分為鉛直平移

或稱上下平移

及水平平移

或稱左右平移兩種情況

我們將要藉助y等於sin x的圖形

以及圖形平移的概念

來畫出相關的函數圖形

例如利用y等於sin x的圖形

畫出y等於sin x加2

因為對每一個x

y等於sin x加2的值

都比y等於sin x多2

所以y等於sin x加2的圖形

可以由y等於sin x的圖形

向上平移2單位得到

我們可以先在y等於sin x的圖形上

標示出幾個點

例如最高點

等

最低點

等

把這些點全部向上平移2單位

再順著y等於sin x的圖形

增加或減少的趨勢

將這些新點用平滑曲線連接起來

就能得到y等於sin x加2的函數圖形

我們注意到圖形往上平移後

週期沒有改變

依然是2π

因為sin x的最大值為1

最小值為-1

所以y等於sin x加2的最大值

為1加2等於3

最小值為-1加2等於1

而且振幅沒變還是1喔

我們再來看一個例子

利用y等於sin x的圖形

畫出y等於sin x減1的圖形

因為對每一個x

y等於sin x減1的值

都比y等於sin x少1

所以y等於sin x減1的圖形

可以由y等於sin x的圖形

向下平移1單位得到

最後我們可以得到螢幕中的圖形

平移前後週期 振幅

最大值及最小值如螢幕所示

我們可以在這裡整理出一個小重點

就是函數y等於sin x的圖形

經過鉛直平移k的絕對值個單位之後

可以得到函數y等於sin x加k的圖形

其中k大於0

表示向上平移k單位

k小於0

表示向下平移k絕對值個單位

平移後週期依然是2π

最大值是1加k

最小值為-1加K

而且振幅還是1喔

我們再來看函數y等於sin x的圖形

水平平移的部分

怎麼利用y等於sin x的圖形

畫出y等於sin x減4分之π的圖形呢

我們仿照前面的那樣

把y等於sin x的最高點 最低點等標示出來

把這些點全部向右平移4分之π單位

因為我們觀察到

y等於sin x函數圖形上

每一點的x坐標加上4分之π後

代入y等於sin括號x減4π中的x值

會剛好等於該點的y坐標

例如在y等於sin x函數圖形上的最高點

將x等於2分之π加4分之π

等於4分之3π

代入y等於sin括號x減4π時

會得到圖形的最高點

sin 2分之π等於1

因此我們知道把y等於sin x圖形上的點

全部向右平移4分之π單位

再依y等於sin x圖形

增加或減少的趨勢

將這些新點用平滑曲線連接起來

就能得到y等於sin括號x減4π

請注意當我們把圖形向右平移後

週期沒有改變

依然是2π

原本函數y等於sin x的最大值1

與最小值-1

經往右平移後

最大值與最小值仍然分別是1與-1

所以振幅沒變還是1喔

我們再來看一個例子

利用y等於sin x的圖形

畫出y等於sin括號x加2分之π的圖形

因為y等於sin x函數圖形上

每一點的x坐標減去2分之π後

代入y等於sin括號x加2分之π中的x值

會剛好等於該點的y坐標

所以我們知道y等於sin括號x加2分之π的圖形

就是y等於sin x的圖形

向左平移2分之π單位後的圖形

請注意

當我們把圖形向左平移後

週期沒有改變

依然是2π

原本函數y等於sin x的最大值1

與最小值-1

經往左平移後

最大值與最小值仍然分別是1與-1

所以振幅沒變還是1喔

我們可以在這裡整理出一個小重點

就是函數y等於sin x的圖形

經過水平平移h絕對值單位之後

可以得到函數y等於sin括號x減h的圖形

其中h大於0

表示向右平移h單位

h小於0

表示向左平移h絕對值個單位

平移前後週期沒有改變

依然是2π

原本函數y等於sin x的最大值1

與最小值-1

平移後最大值與最小值仍然分別是1與-1

所以振幅沒變還是1喔