前面一支影片有提到 我們從物理電學實驗室裡 示波器螢幕中 觀察交流電的電流 隨著時間變化的圖形 這個圖形看起來像y等於sin x的圖形 經過變形後的樣子 前面也有提到正弦函數 y等於sin x圖形的平移 可是示波器中的圖形 無論y等於sin x圖形如何平移 都沒有辦法做到完全的吻合 我們看到示波器中的圖形週期和振幅 與y等於sin x圖形不一樣 所以示波器中的圖形 好像不能只由y等於sin x圖形做平移得到 另外還要伸縮才行 在前面的影片中 我們有提到繪製y等於sin x圖形 最直接的方法就是描點法 我們先對某些特殊的x值 求出y等於sin x的函數值 如螢幕中的表呈現 利用計算機算出上表中x y的近似值 我們算到四捨五入至小數點後第三位 將點x y逐一標示於坐標平面上 並用平滑曲線將這些點連起來 就可得到y等於sin x 在x大於等於0 小於等於2π上的圖形 因為y等於sin x的週期為2π 我們就可以畫出整個y等於sin x的圖形 同時我們也可以觀察到 y等於sin x的振幅等於1 且sin x大於等於-1 小於等於1 接下來假如我們想要畫y等於2sin x 由前面我們畫y等於sin x圖形的經驗 我們藉由描點畫出y等於2sin x的圖形 並把它和y等於sin x圖形放在一起做觀察 觀察y等於sin x與y等於2sin x圖形上的點 可以發現 當點在y等於sin x的圖形上 即y 等於sin x 則2y 等於2sin x 所以點在y等於2sin x的圖形上 因此對任意實數x y等於2sin x的函數值 都是y等於sin x的2倍 所以只要將y等於sin x的圖形 以x軸為基準 鉛直方向拉伸為2倍 即可得y等於2sin x的圖形 因為對每一個x y等於2sin x的值 總是y等於sin x的2倍 所以y等於2sin x圖形振幅 為y等於sin x圖形振幅的2倍 同時y等於2sin x的最大值為2 最小值為-2 且y等於2sin x的週期仍保持2π 同樣地我們在這裡可以推論 當a大於0時 函數y等於asin x的圖形 可由y等於sin x的圖形以x軸為基準 鉛直方向伸縮為a倍得到 鉛直伸縮會影響振幅 其振幅為a 週期為2π 至於函數y等於-asin x的圖形 可由y等於asin x的圖形以x軸為基準 上下翻轉 即對稱x軸得到 其週期仍為2π 振幅為a 接下來假如我們想要畫y等於sin 2x 由前面我們畫y等於sin x圖形的經驗 我們藉由描點畫出y等於sin 2x的圖形 並把它和y等於sin x圖形放在一起做觀察 當在y等於sin x的圖形上 即y 等於sin x 則y 等於sin 2乘以2分之x 所以在y等於sin 2x的圖形上 例如我們將x等於4分之π 代入y等於sin 2x的值 與x等於2分之π 代入y等於sin x的值相等 所以只要將y等於sin x的圖形以y軸為基準 水平方向壓縮為原來的2分之1倍 即可得y等於sin 2x的圖形 由圖可知函數y等於sin 2x的最大值為1 最小值為-1 振幅為1 而y等於sin 2x的週期 為y等於sin x的一半 其週期為π 同理我們在這裡可以推論 當時b大於0時 函數y等於sin bx的圖形 可由y等於sin x的圖形以y軸為基準 水平方向伸縮為b分之1倍得到 水平伸縮會影響週期 其週期為b分之2π 振幅為1 前面就單純以鉛直伸縮或水平伸縮 看y等於sin x圖形的變形及形式 我們知道當a大於0時 函數y等於asin x的圖形 可由y等於sin x的圖形以x軸為基準 鉛直方向伸縮為a倍得到 而當b大於0時 函數y等於sin bx的圖形 可由y等於sin x的圖形以y軸為基準 水平方向伸縮為b分之1倍得到 那麼假如是函數y等於asin bx形式的圖形呢 舉例來說 函數y等於3sin 2x的圖形 我們可以先將y等於sin x的圖形 鉛直伸縮為原來的3倍 也就是振幅變為3 得到y等於3sin x的圖形 然後再繼續將y等於3sin x的圖形 水平伸縮為原來的2分之1倍後 得到y等於3sin 2x的圖形 此時週期變為π 我們可以觀察到 由y等於sin x的圖形 經由伸縮變成y等於3sin 2x的圖形 週期變成原來的2分之1 也就是π 而振幅變成原來的3倍 也就是3 綜合以上的說例 關於正弦函數圖形伸縮的概念 我們以流程圖表示 並且歸納了一些性質 一般而言 關於正弦函數圖形的伸縮有下列性質 設a大於0 b大於0 函數y等於asin x的圖形 可由y等於sin x的圖形以x軸為基準 鉛直方向伸縮為a倍得到 其性質如螢幕所示 函數y等於sin bx的圖形 可由y等於sin x的圖形以y軸為基準 水平方向伸縮為b分之1倍得到 其性質如螢幕所示 關於正弦函數圖形伸縮的概念 我們以流程圖表示如螢幕所示 各位同學 我們這兩支影片已經分別介紹完 y等於sin x函數圖形平移和伸縮 下支影片我們將進一步說明 正弦函數圖形同時做伸縮與平移時 對週期及振幅的影響 那麼我們下次再見囉 掰掰