前面我們有提到

物理電學實驗室裡的示波器

從示波器的螢幕裡

觀察電學中交流電的電流

隨著時間變化的圖形

經過前面幾支影片的討論

這個圖形看起來像

y等於sin x的圖形

經過變形後的樣子

而圖形的變形就是做

平移及伸縮的過程

讓我們先來複習一下

y等於sin x的平移及伸縮

前面的影片及測驗中

我們藉由伸縮將y等於sin x的圖形

變成y等於3sin 2x的圖形

關於這個圖形的變化

我們可以先將y等於sin x

鉛直伸縮為原來的3倍

變成y等於3sin x

然後再繼續將y等於3sin x的圖形

水平伸縮為原來的2分之1倍後

得到y等於3sin 2x的圖形

最後我們比較y等於sin x的圖形

及y等於3sin 2x的圖形的週期

振幅還有最大最小值

如表所示

那假如我們想要更進一步繪製函數

y等於3sin括號2x減3分之π減1的圖形

該如何利用y等於sin x的圖形來繪製呢

還有y等於3sin括號2x減3分之π減1的週期

振幅以及最大 最小值呢

我們可以借用前面y等於sin x的圖形

經由伸縮變成y等於3sin 2x的結果

再利用平移畫出

y等於3sin括號2x減3分之π減1的函數圖形

為什麼呢

因為做左右平移的時候

x的坐標的值

會受到變數x前面係數影響

所以要單純看左右平移時

要先將y等於3sin括號2x減3分之π減1

改寫成

y等於3sin括號2乘以括號x減6分之π減1的形式

正好是將y等於3sin 2x

向右平移6分之π單位

及向下平移1單位的結果

總地來說

我們可以將y等於sin x的圖形變形到

y等於3sin括號2x減3分之π減1的圖形

分成以下四個步驟

步驟1 將y等於sin x鉛直伸縮為原來的3倍

變成y等於3sin x

此時週期為2π

振幅等於3

最大值3

最小值-3

步驟2 將y等於3sin x

水平伸縮為原來的2分之1倍後

得到y等於3sin 2x的圖形

此時週期為π

振幅等於3

最大值3

最小值-3

步驟3 將y等於3sin 2x

向右平移6分之π單位後

得到y等於3sin括號2乘以括號x減6分之π的圖形

此時週期為π

振幅等於3

最大值3

最小值-3

步驟4 將y等於3sin括號2乘以括號x減6分之π

向下平移1單位後

得到y等於3sin括號2乘以括號x減6分之π減1的圖形

此時週期為π

振幅等於3

但最大值2

最小值-4

最後我們將y等於sin x的圖形

與y等於3sin括號2x減3分之π減1的圖形

做個比較

從剛才我們做伸縮及平移的過程

及其圖形當中得知

y等於3sin括號2x減3分之π減1的振幅

為y等於sin x的3倍

週期為y等於sin x的2分之1倍

由於y等於sin x的最大值為1

最小值為-1

我們可以得到

y等於3sin括號2x減3分之π減1

的最大值為3乘以1減1等於2

最小值為3乘以-1減1等於-4

我們可以再舉一個例子來練習

螢幕中的圖為函數y等於a sin bx加k的部分圖形

第題 試求此函數的週期與振幅

第題 決定a b k的值

其中a b均為正數

觀察圖形

點與

為相鄰的最低點與最高點

在4分之3π及4分之5π之間的圖形

剛好是半個週期

所以週期為2乘以括號

4分之5π減4分之3π等於π

另一方面前面影片有提到

振幅就是函數的最大值

及最小值差的一半

因為函數最高點與最低點的y座標

分別為3與-5

所以振幅為2分之3減-5等於4

由振幅等於4即可知a等於4

由函數最大值

3等於k加a等於k加4

得k等於-1

而週期π等於b分之2π

所以b等於2

從y等於sin x的圖形出發

利用平移 伸縮

可以化成y等於a sin括號bx減h加k的圖形

其中a大於0 b大於0

過程及步驟如下

各位同學

我們已經完整地介紹正弦函數圖形

同時做伸縮與平移時

對週期及振幅的影響

同時我們也舉了例題來練習

不知道同學們是否了解

請各位同學一定要作練習喔

那麼我們下次再見囉