前面我們已經說明了 有關y等於sin x的函數圖形及其性質 這支影片我們將要介紹 y等於cos x的函數圖形及性質 首先我們先幫各位同學複習一下 cos θ的定義 若θ是一個標準位置角 在θ的終邊上任取非原點O的一點P 則我們定義cos θ等於r分之x 其中r等於根號x平方加y平方 同樣地為了將cos θ以函數觀點探討 我們特別將角θ用弧度來表示 給定任一個實數x 我們可以將角的大小視為x弳 然後考慮三角比 就可以看成是從實數對應到實數的函數 例如 x對應到cos x 是將x弳對應到cos x的函數 對應值y等於cos x 我們稱為餘弦函數 我們接下來要畫y等於cos x函數圖形 仿照正弦函數作法 我們先就一些特殊的x值求出 y等於cos x的函數值 如螢幕中的表呈現 再利用計算機算出上表中 x y的近似值 四捨五入至小數點後第三位 再將點逐一標示於坐標平面上 如果描點數夠多 並用平滑曲線將這些點連起來 就可以得到y等於cos x在 x大於等於0 小於等於2π上的圖形 因為對任意的實數x cos括號x加2π等於cos x 又y等於cos x在x大於等於0 小於等於2π範圍內的圖形 沒有重複 所以y等於cos x是週期函數 且週期等於2π 接著我們可以把y等於cos x 在x大於等於0 小於等於2π上 所畫的圖形複製並逐次 向右和向左平移若干個2π單位 就可得到y等於cos x的全部圖形 我們觀察一下y等於cos x的圖形 感覺上它的形狀看起來像極了y等於sin x 於是我們將y等於sin x與y等於cos x 畫在同一個坐標平面觀察 我們發現y等於sin x與y等於cos x 好像經過平移後 就可以重合在一起 這是由於對任意的實數x 等式sin括號x加2分之π等於cos x 恆成立 由前面幾支影片得知 y等於sin括號x加2分之π的圖形 可以由y等於sin x向左平移 2分之π單位得到 所以我們將y等於sin x的圖形 向左平移2分之π單位之後 可以得到y等於cos x 例如 點在y等於sin x上 對應在y等於cos x上 因此我們也可以先畫出 正弦函數y等於sin x的圖形 再向左平移2分之π單位 就可以得到餘弦函數 y等於cos x的圖形 既然sin括號x加2分之π等於cos x 又y等於sin括號x加2分之π 圖形可由y等於sin x 向左平移2分之π單位得到 那麼y等於cos x和正弦函數 y等於sin x一樣 對任意實數x cos x都有定義 所以y等於cos x定義域為全體實數R 我們從餘弦函數y等於cos x 在x大於等於0 小於等於2π 範圍內的圖形的趨勢 發現當x由0增加到π時 cos x由1連續減少到-1 而當x由π增加到2π時 cos x由-1連續增加到1 由定義與圖形可知 y等於cos x的最大值為1 最小值為-1 函數值在-1與1之間來回震盪 所以y等於cos x的值域 為小於等於1且大於等於-1的實數集合 且y等於cos x和y等於sin x一樣 振幅為1 我們在前幾支影片中有提到 y等於sin x圖形是線對稱 也是點對稱 既然y等於sin x的圖形 向左平移2分之π單位 可得到y等於cos x的圖形 那麼y等於cos x圖形是否有線對稱 及點對稱的性質呢 我們在前面有提到 y等於sin x對稱於鉛直線 x等於2分之括號2n加1乘以π 其中n為整數 例如直線x等於2分之π 直線x等於2分之3π 直線x等於-2分之π等 這些都是通過y等於sin x圖形 最高點或最低點的鉛直線 那麼我們將y等於sin x的圖形 連同對稱軸向左平移2分之π單位 就可得到y等於cos x的圖形 及其對稱軸 所以y等於cos x和y等於sin x一樣 圖形會對稱於所有通過波峰 或波谷的鉛直線 因此我們得知 y等於cos x圖形對稱於鉛直線x等於nπ 其中n為整數 特別是由於對所有x而言 cos 等於cos x y等於cos x圖形對稱於x等於0 也就是y軸 我們在前面有提到 由於sin括號nπ加x 等於-sin括號nπ減x 所以y等於sin x與x軸的所有交點 其中n為整數 皆為y等於sin x對稱中心 又因為sin括號x加2分之π 等於cos x 所以cos括號nπ減2分之π加x 等於-cos x括號nπ減2分之π減x 因此y等於cos x與x軸的所有交點 其中n為整數 皆為y等於cos x對稱中心 事實上從圖形上來看 y等於sin x圖形的對稱點 左移2分之π單位後 就是y等於cos x的對稱點 結合前面幾支影片 請各位同學思考以下問題 各位同學 我們前面已經介紹 y等於sin x及y等於cos x的函數圖形 下支影片我們將探討 正切函數y等於tan x的函數圖形及其性質 那麼讓我們下次再見喔 掰掰