前面我們已經說明完有關 y等於sin x及y等於cos x 的函數圖形及其性質 這支影片我們將要介紹 第三個三角函數 y等於tan x的函數圖形及性質 首先我們先幫各位同學複習一下 tan θ的定義 若θ是一個標準位置角 在θ的終邊上任取 非原點O的一點P 則我們定義tan θ等於x分之y 其中x不等於0 同樣地為了將tan θ以函數觀點探討 我們特別將角θ用弧度來表示 給定任一個實數x 我們可以將角的大小視為x弳 然後考慮三角比 就可以看成是從實數對應到實數的函數 例如 x對應到tan x 是將x弳對應到tan x的函數 對應值y等於tan x我們稱為正切函數 描繪函數圖形最直接的方法 就是描點法 首先我們由正切的三角比定義得知 若正切函數y等於tan x有意義 x不能等於2分之π加kπ 其中k為整數 另外對所有的實數x而言 tan x加π等於tan x恆成立 即函數y等於tan x也是一個週期函數 因此只要畫出y等於tan x在 x大於-2分之π小於2分之π 範圍內的圖形 再利用平移的方式 就可以畫出完整的圖形 因此我們先找出-2分之π 到2π之間的幾個正切值 利用計算機算出表格中x y的近似值 算到四捨五入至小數點後第三位 如表格所示 接著描繪其圖形 由三角比的性質 知道正切函數值在 -2分之π到2分之π之間 是連續增加的 所以我們以平滑曲線將這些點連起來 就可得到y等於tan x 在x大於-2分之π小於2分之π 範圍內的圖形 緊接著我們將圖形 不斷向右及向左平移若干個π單位 就可得到y等於tan x的完整圖形 我們也可以利用單位圓 來描繪正切函數的圖形 前面我們有提到在坐標平面上 以原點O為圓心 作一半徑r等於1的圓 及過點T的切線L 設標準位置角θ的終邊 與直線L交於P點 可知P點的坐標為 即P點的y坐標為tanθ 當角度在x大於-2分之π 小於2分之π範圍變動時 P點y坐標的變化情形 即代表函數值tan x的變化情形 我們可以看到在x大於-2分之π 小於2分之π範圍內 tan x的值隨著x的值增加而逐漸增加 所以函數值為任意實數 這裡值得一提的是 當x從0增加而接近2分之π時 點會從原點開始上升 當x愈接近2分之π時 點會愈接近直線x等於2分之π 當x從0減少而接近-2分之π時 點會從原點開始下降 當點x愈接近-2分之π時 點會愈接近直線x等於-2分之π 同樣地因為tan x加π等於tan x 所以只要將y等於tan x 在x大於-2分之π小於2分之π範圍內的圖形 不斷向右及向左平移π單位 就可以得到y等於tan x完整圖形 最後我們根據前面y等於tan x的圖形 整理出相關性質 首先是定義域 因為tan x等於cos x分之sin x 所以y等於tan x有意義 則cos x不能等於0 而導致cos x等於0 就是x等於2分之π加kπ 其中k為整數 所以y等於tan x定義域就是 除了x等於2分之π加kπ之外的實數 所形成的集合 我們也可以由y等於tan x圖形看到 x等於2分之π加kπ和y等於tan x沒有交點 我們可以看到在 x大於-2分之π小於2分之π範圍內 tan x的值隨著x值增加而逐漸增加 所以y等於tan x的值域為所有實數 對於定義域內任意實數x tan x加π等於tan x恆成立 且π是滿足這個式子的最小正數 因此正切函數的週期為π 從y等於tan x定義得知 對於定義域內任意實數x tan -x等於-tan x恆成立 意即在圖形上時 點亦在圖形上 因此正切函數的圖形對稱於原點 甚至由於圖形得知 形如 的點 其中n為整數 都是圖形的對稱中心喔 我們先討論正切函數y等於tan x 在區間x大於-2分之π 小於2分之π內函數值的變化 正切函數y等於tan x的圖形有以下的現象 當x從0逐漸增加而接近2分之π時 y等於tan x從0逐漸增加 而趨向無限大 我們也可以看到 當x愈接近時2分之π時 y等於tan x圖形 會愈來愈接近直線x等於2分之π 但不會有交點 當x從0逐漸減少而接近-2分之π時 y等於tan x從0逐漸減少 而趨向負無限大 我們也可以看到 當x愈接近-2分之π時 y等於tan x圖形會愈來愈接近 直線x等於-2分之π 但不會有交點 我們特別把直線x等於2分之π 及x等於-2分之π 稱為y等於tan x圖形的漸近線 甚至x等於2分之π加kπ k為整數 都是y等於tan x圖形的漸近線 正切函數 正切函數y等於tan x的圖形 y等於tan x具有這些性質 各位同學 我們前面已經介紹 y等於cos x及y等於tan x的函數圖形 下支影片我們將進一步探討 餘弦函數圖形平移 以及對x y軸伸縮前後函數變化的關係 那麼讓我們拭目以待喔 掰掰