每日潮汐漲落的時間

月相圓缺的日子等

是大自然出現的週期現象

數學家與科學家常利用

正弦或餘弦函數

描述這些週期現象

建立數學模型

進而解決問題或進行預測

前面幾支影片

我們介紹了透過正弦及餘弦函數的

平移與伸縮的變換

可以產生各種不同週期

與振幅的函數

y等於a sin加k

而科學家關心的是

波動現象隨時間的變化

因此習慣上會把函數的自變數x改成t

來呈現數學模型

以求得一些參數

譬如在實驗室中

以示波器觀察一波

在某介質中前進

並記錄波隨時間的振動高度

若此波可以表示成

y等於2sin加5

我們將y等於5稱為基線

而正弦函數圖形中的最高點或最低點

至基線的垂直距離就是振幅

其值為2

t的係數3為角速度

而4分之π則表示為相位角

接下來我們將利用一些例子

說明如何用正弦或餘弦函數

描述週期現象

舉例來說

因為潮汐現象

我們特別紀錄了某港口某一天

從0時到24時

時間t小時

與港口水深y公尺的關係

如表所示

設y等於f

是某港口水深y公尺

關於時間t小時的函數

其中t大於等於0小於等於24

經長期觀察

y等於f的圖形很靠近

y等於a sin加k的圖形

其中a大於0

b大於0小於2分之π

則我們想求a b與k的值

因為我們假設y等於f

等於a sin加k

將t等於0及y等於8代入

得8等於f

等於a sin加k

等於k

所以k等於8

我們觀察最高點是12

最低點是4

也就是最高點到最低點的距離為8

所以振幅a等於2分之12減4

等於4

我們再把a等於4及k等於8

代入y等於f

等於a sin加k

得y等於f

等於4sin加8

最後在b大於0小於2分之π的條件下

及將t等於3及y等於12代入

我們得b等於6分之π

再將b等於6分之π代入

我們可以得到y等於f

等於4sin加8

我們畫出y等於f圖形如螢幕所示

我們再來看一個例子

在實驗室中

以示波器觀察一波在某介質中前進

並記錄波隨時間的振動高度

相關數據如表所示

觀察示波器內的圖形對應數據

可以約略看出這個圖形

與正弦函數的圖形類似

因此我們選用形如

y等於a sin加k的函數

來描述這筆觀測資料

我們要根據數據求出函數

y等於a sin加k

當中的a b h k的值

其中a大於0 b大於0

h大於等於0小於2π

由圖中可觀察出波的最高點為17

最低點為9

因此基線為y等於13

得k等於13

又由最高點至基線的距離

可知振幅為4

得a等於4

又當t等於3與t等於11時

波的高度有最大值

可知週期為8秒

因此由b分之2π等於8

可知b等於4分之π

我們將a等於4

b等於4分之π

k等於13

代入y等於a sin加k

得y等於4sin加13

我們用y等於4sin加13

與y等於4sin加13做比較

y等於4sin加13

圖形是y等於4sin加13

圖形向右平移1單位

所以我們可以得到

y等於4sin)+13

等於4sin加13

又因為h大於等於0小於2π

且sin函數的週期為2π

所以最後得到h等於4分之7π

另外我們也可以代兩個點進去求h

因為將a等於4

b等於4分之π

k等於13代入

可以得到函數

y等於4sin加13

圖形過

我們得到sin等於0

所以h可能為-4分之π

4分之3π

4分之7π

4分之11π等

又過 所以得到

sin等於1

那麼h可能為

-4分之π

4分之7π

4分之15π 依此類推

又h大於等於0小於2π

我們取h等於4分之7π

綜合以上

符合圖形及數據的函數圖形為

y等於4sin加13

最後我們已經學完有關

三角函數圖形的內容

不知道同學們有什麼心得及想法

歡迎在影片下方留言

那麼我們下次再見 掰掰