生活中各種樂器的音色不同 是因為他們的波形不同 最基本的波形是音叉的波形 它在振動時 僅發出單一且固定的頻率 其他樂器則是由各種不同的基本波形混合 形成了各式各樣的波形 那麼這些波形是如何混合的呢 我們先來試試看如果將兩個函數相加之後 它的圖形會長怎麼樣 之前我們學過 正弦函數y等於sin x的圖形長這樣 餘弦函數y等於cos x的圖形長這樣 它們都是週期性重複出現的波動圖形 我們來看一下 正弦函數y等於sin x圖形的週期是2π 餘弦函數y等於cos x圖形的週期也是2π 兩個圖形的週期相同 如果將這兩個週期一樣的波動 放在相同的坐標平面上 能不能看出y等於sin x加cos x的圖形 長怎麼樣子呢 如果我們一個點一個點來看的話 當x等於0時 y等於sin x加cos x的值為 0加1等於1 當x等於4分之π時 y等於sin x加cos x的值為 2分之根號2加2分之根號2 等於根號2 當x等於2分之π時 y等於sin x加cos x的值為 1加0等於1 大家可以觀察一下 這些點出現的位置 跟y等於sin x與y等於cos x圖形的相對位置 來感受一下兩張圖疊加上去的感覺 依據相同的方法 我們可以來看更多的點 剛剛我們算出來不同的x值所對應之 y等於sin x加cos x 接著我們將這些點 逐一標示於坐標平面上 並用平滑曲線將這些點連起來 就可得到 y等於sin x加cos x的圖形 如圖中的綠色的曲線 y等於sin x加cos x 與正弦函數y等於sin x 餘弦函數y等於cos x 一樣都是以2π為週期的波動圖形 與正弦函數 餘弦函數不一樣的是 它的最大值不是1 而是根號2 它的最小值不是-1 而是-根號2 事實上 y等於sin x加cos x 也可以表成正弦函數的形式 首先我們把根號2提出來 得到根號2乘以括號 根號2分之1sin x 加根號2分之1cos x 接著從45度 45度 90度的等腰直角三角形 可得sin 45度等於2分之根號2 且cos 45度等於2分之根號2 所以可以將前面的根號2分之1 改成cos 45度 將後面的根號2分之1 改成sin 45度 得到根號2乘以括號 sin x乘cos 45度 加cos x乘sin 45度 最後利用正弦函數的和角公式 sin α加β等於sin α乘cos β 加cos α乘sin β 將括號裡的sin x乘cos 45度 加cos x乘sin 45度 改寫為sin括號x加45度 便可將y等於sin x加cos x 表成正弦函數的形式 我們將y等於sin x加cos x 寫成y等於根號2乘上sin x加45度 即y等於根號2乘上sin x加4分之π 因此從正弦函數圖形 伸縮與平移的概念可以知道 將y等於sin x的圖形鉛直伸縮 為原來的根號2倍 振幅會變為根號2 再往左平移4分之π單位後 便可以得到y等於sin x加cos x的圖形 因為它圖形的振幅為根號2 所以最高點出現在y等於根號2 最低點出現在y等於-根號2 因此函數y等於sin x加cos x的最大值為根號2 最小值為-根號2 這樣的改寫方式 我們稱為將sin x和cos x疊合成 根號2乘sin x加4分之π y等於sin x加cos x可表示成 正弦函數 y等於根號2乘sin x加4π的形式 再由正弦函數圖形伸縮與平移的概念可以知道 y等於sin x加cos x的週期為2π 振幅為根號2 最大值為根號2 最小值為-根號2 想想看除了將y等於sin x加cos x 表示成正弦函數 y等於根號2 sin x加4分之π之外 還有沒有其他的表示法呢 這個單元我們將y等於sin x加cos x 表示成正弦函數的形式 並由正弦函數圖形伸縮與平移的概念 得到它的圖形 週期 振幅 與最大最小值 之後我們將進一步介紹 y等於asin x加bcos x 表成正弦函數的方法 這個單元就到此為止 同學繼續加油哦