之前正弦與餘弦疊合的方法的影片中 介紹了將y等於asin x加bcos x疊合 y等於根號a平方加b平方sin x加θ的形式 其中θ滿足cos θ等於 根號a平方加b平方分之a sin θ等於根號a平方加b平方分之b 接下來我們會利用三角函數圖形的特性 來看看疊合後的圖形長甚麼樣子 並延伸討論 疊合後函數的最大值與最小值 我們先複習一下正弦函數圖形的特性 正弦函數y等於sin x的圖形 是個以2π為週期 重複出現的波動圖形 它的振幅會是1 最大值為1 最小值為-1 接著複習正弦函數圖形鉛直伸縮的概念 y等於asin x其中a大於0的圖形 會是y等於sin x的圖形 鉛直伸縮為原來的a倍 此時圖形的振幅會變為a 因此最大值就會變為a 最小值就會變為-a 例如y等於3sin x的圖形 會是y等於sin x的圖形 鉛直伸縮為原來的3倍 此時的振幅會變為3 最大值為3 最小值為-3 再來我們用兩個水平移動的例子 來複習左右平移的概念 y等於sin括號x減2分之π的圖形 會由y等於sin x的圖形 水平向右平移2分之π y等於sin括號x加2分之π的圖形 會由y等於sin x的圖形 水平向左平移2分之π 綜合以上的內容 當我們將y等於asin x加bcos x疊合 y等於根號a平方加b平方sin x加θ的形式後 y等於根號a平方加b平方sin x加θ的圖形 就會是由y等於sin x的圖形 鉛直伸縮為原來的 根號a平方加b平方倍 再水平平移θ 當θ大於0時 圖形會往左平移 當θ小於0時 圖形會往右平移 我們來看一個例子 畫出y等於sin x加根號3cos x的圖形 並求其最大值與最小值 因為根號1平方加根號3的平方等於2 所以先將2提出來 得到2乘以括號2分之1sin x 加2分之根號3cos x 接著 將2分之1換成cos 60度 且2分之根號3換成sin 60度 得到2乘以括號sin x cos 60度 加sin 60度cos x 最後利用正弦的和角公式 便可得到2sin括號x加60度 也就是2sin括號x加3分之π 因此由正弦函數圖形 伸縮與平移的概念可以知道 將y等於sin x的圖形鉛直伸縮為原來的2倍 再往左平移3分之π單位後 便可得到y等於sin x加根號3cos x的圖形 此時振幅會變為2 由圖形中便可得到 函數y等於sin x加根號3cos x的最大值為2 最小值為-2 之前的例子中 我們將y等於asin x加bcos x疊合為 y等於根號a平方加b平方sin括號x加θ 其中的θ都是跟30度 60度 或45度相關的特殊角 接下來我們來看一個 θ不是這些特殊角的例子 並由此例子進一步延伸討論 疊合後函數的最大值與最小值 求y等於3sin x加4cos x的 最大值與最小值 因為根號3平方加4平方等於5 所以先將5提出來 得到5乘以括號5分之3sin x 加5分之4cos x 接著令cos θ等於5分之3 且sin θ等於5分之4 因此5乘以括號5分之3sin x 加5分之4cos x 就可以換成 5乘以括號sin x cos θ加cos x sin θ 再利用正弦的和角公式便可得到 5sin括號x加θ 我們來探討一下 y等於5sin括號x加θ的最大值與最小值 首先來看其中的θ 雖然我們不知道θ是多少 但是它只會影響到 圖形水平的左右平移 並不會影響到最大值或最小值 接著來看鉛直伸縮的部分 因為y等於5sin括號x加θ的圖形 會由y等於sin括號x加θ的圖形 鉛直伸縮為原來的5倍 而且y等於sin括號x加θ的最大值為1 最小值為-1 所以伸縮為原來的5倍後的函數 y等於5sin括號x加θ的最大值為5 最小值為-5 也就是說 函數y等於3sin x加4cos x的最大值為5 最小值為-5 有些比較複雜的式子 我們可能需要先將函數展開整理後 再利用疊合來求最大值與最小值 例如 y等於2sin括號x加6分之π減2cos x 我們先利用差角公式展開 得到2sin x cos 6分之π 加2cos x sin 6分之π 減2cos x 整理化簡後可以得到 根號3sin x減cos x 再提出2 並將2分之根號3換成cos 30度 2分之1換成sin 30度 這裡也可以像題目一樣用弧度來表示 也就是會得到 2乘以括號sin x cos 6分之π 減cos x sin 6分之π 接著利用差角公式可以得到 2sin括號x減6分之π 最後因為函數y等於sin括號x減6分之π 的最大值為1 最小值為-1 所以我們就可以得到2倍後的 2sin括號x減6分之π的最大值為2 最小值為-2 若a與b是不全為0的實數 則函數y等於asin x加bcos x 可以表為正弦函數 y等於根號a平方加b平方sin括號x加θ的形式 其中θ滿足cos θ等於 根號a平方加b平方分之a sin θ等於根號a平方加b平方分之b 此時y等於asin x加bcos x的最大值 為根號a平方加b平方 最小值為負根號a平方加b平方