之前正餘弦函數疊合的應用一的影片中 我們介紹了將函數 y等於a sin x加b cos x 疊合後的圖形 還有其最大值與最小值 接下來本影片會再延伸 來看看疊合更多的應用 例如在x有範圍的情況下 疊合後函數的最大 最小值要怎麼求 還有要怎麼利用疊合 來解三角函數的方程式 我們先用一道例題來看看 在x有範圍的情況下 疊合後函數的最大 最小值要怎麼求 畫出y等於根號3sin x減cos x加2的圖形 並求它在以下範圍的最大值與最小值 第一題 x大於等於0小於2π 第二題 x大於等於0小於π 首先我們先將函數 y等於根號3sin x減cos x加2 寫成正弦函數的形式 因為根號括號根號3的平方加1的平方等於2 所以先將2提出來 得到2乘以括號2分之根號3sin x 減2分之1cos x加2 這裡特別說明一下 在進行疊合的時候 後面的常數項可以先不處理它 照寫就好 接著將2分之根號3換成cos 30度 且2分之1換成sin 30度 得到2乘以括號sin x cos 30度 減sin 30度 cos x加2 最後利用正弦的差角公式便可得到 2sin x減30度加2 也就是2sin x減6分之π加2 因此由正弦函數圖形 伸縮與平移的概念可以知道 將y等於sin x的圖形 鉛直伸縮為原來的2倍 再往右平移6分之π單位 往上平移2單位後 便可得到 y等於根號3sin x減cos x加2的圖形 然後我們就可以依據題目的需求 去看要的範圍 第1小題中x的範圍為 x大於等於0小於2π 因此我們只要看x大於等於0 小於2π之間的圖形 觀察圖形可以發現 最大值為4 此時2sin x減6分之π加2等於4 化簡得到sin x減6分之π等於1 可以得到x減6分之π等於2分之π 解得x等於3分之2π 也就是說當x等於3分之2π時 y等於根號3sin x減cos x加2 有最大值為4 接著觀察圖形可以發現 最小值為0 此時2sin x減6分之π加2等於0 化簡得到sin x減6分之π等於-1 可以得到x減6分之π等於2分之3π 解得x等於3分之5π 也就是說當x等於3分之5π時 y等於根號3sin x減cos x加2 有最小值為0 這裡得到的最大值與最小值 跟x為任意實數時的最大最小值一樣 這是因為x取的範圍 x大於等於0小於2π 剛好等於一個週期的緣故 只要取了至少一個完整的週期 範圍中就一定會橫跨 整個函數的最大值與最小值 但是如果x的範圍不到一個週期呢 我們來看第2小題 第2小題中x的範圍為 x大於等於0小於π 這時我們只要看x大於等於0 小於π之間的圖形 我們將第1小題的圖形中 大於π的部分刪除 觀察圖形可以發現 最大值4仍然發生在x在波峰的時候 也就是當x等於3分之2π時 y等於根號3sin x減cos x加2 有最大值4 但是最小值並沒有發生在波谷的位置 而是發生在x等於0的位置 此時最小值為1 接著我們來看先利用疊合化簡之後 再來求方程式的應用例子 在x大於0小於π的範圍內 求方程式sin x加cos x等於1的解 首先我們先將方程式的左式 sin x加cos x 寫成正弦函數的形式 先將根號2提出來 得到根號2乘以括號 根號2分之1sin x加根號2分之1cos x 接著將前面的根號2分之1換成cos 45度 且後面的根號2分之1換成sin 45度 得到根號2乘以括號 sin x cos 45度加sin 45度 cos x 最後利用正弦的和角公式 便可得到根號2sin x加45度 即根號2sin x加4分之π 這時我們便可以將方程式的左式 sin x加cos x 換成根號2sin x加4分之π 並得到根號2sin x加4分之π等於1 移項整理得到 sin x加4分之π等於根號2分之1 我們知道在0度到360度之間 sin 45度等於sin 135度 等於根號2分之1 但因為題目把x的範圍 限制在0到π之間 所以x加4分之π大於4分之π 小於4分之5π 也就是說x加4分之π 介在45度與225度之間 所以在這個範圍中的正弦sin值 等於根號2分之1 只有135度 也就是4分之3π 因此我們得到 x加4分之π等於4分之3π 移項就可以解得這個方程式的解 x等於2分之π 最後我們來看正餘弦疊合 在幾何方面的應用問題 如圖所示 一個矩形ABCD的頂點 接在另一個矩形PQRS的四個邊上 已知矩形ABCD的短邊為3 長邊為7 設角BAQ等於x為銳角 求矩形PQRS周長的最大值 首先因為角CBR等於180度減90度 減角ABQ 等於90度減角ABQ 等於角BAQ等於x 所以角CBR的角度也是x 同樣的道理 角ADP的角度也是x 接著利用銳角三角比的定義 可以得到以下各訊息 在三角形ABQ中 線段AQ等於3cos x 線段BQ等於3sin x 在三角形BRC中 線段BR等於7cos x 在三角形ADP中 線段AP等於7sin x 因此矩形PQRS的周長 就是2倍的線段PQ加線段QR 接著我們將線段PQ換成 7sin x加3cos x 將線段QR換成3sin x加7cos x 整理化簡得到 20sin x加20cos x 提出20根號2後 再將前面的根號2分之1 換成cos 45度 且後面的根號2分之1 換成sin 45度 得到20根號2乘以括號 sin x cos 45度加sin 45度 cos x 最後利用正弦的和角公式 便可得到20根號2 sin x加45度 此時當x等於45度時 20根號2 sin x加45度 有最大值20根號2 因此便可知道 矩形PQRS的周長的最大值為20根號2 這支影片我們討論了以下幾個重點 在x有範圍的情況下 函數y等於asin x加bcos x疊合後的圖形 最大值與最小值 還有如何利用疊合來解 三角函數的方程式 也看了一個幾何上的應用問題 正餘弦的疊合這個單元的內容 就到這邊結束囉 在很多專業的領域 正餘弦的疊合都有廣泛的應用 例如聲波 光波 電子學等等 這些就留待各位同學 未來進入各相關的領域 再去研究探討囉