自然界中許多物種與物質的生長與衰退

都符合每隔一段時間數量或質量

會依固定的比率成長或衰退

例如像銀行複利的本利和

又或者是放射性物質的質量等

都是生活中常見與指數相關的例子

偶而會在新聞媒體上聽到

指數型成長與線性成長這兩個名詞

然而這兩種情形該如何分辨呢

以下我們舉一個簡單的例子來說明

例如某銀行提供單利及複利

兩種利息的計算方式

已知一開始的本金有10萬

定存年利率百分之10

且一年計息一次

則不同期數的本利和如下表

我們可以將時間和本利和的關係以下圖表示

由圖中可以看到

以單利計算時

本利和隨著時間以線性的成長

而以複利計算時

本利和隨著時間以指數的成長

簡單來說

隨著時間增加

我們可以將每隔固定時間所觀察的量

成等差視為線性成長

而將每隔固定時間所觀察的量

成等比視為指數成長

若實驗室中培養的細菌

每隔一小時就會分裂一次

其數量變為原來的兩倍

經過兩小時後數量變成原來的四倍

以此規律繼續下去

則經過x小時後數量y會變為原來的

2的x次方倍

給定任意實數x

指數2的x次方

都隨著x的值而跟著確定

也就是x與2的x次方之間的關係

可以視為是一組對應關係

我們將這種對應關係以

y等於f等於2的x次方表示

並稱為以2為底的指數函數

一般而言設a大於0 a不等於1

且x為任意實數

函數f等於a的x次方

稱為以a為底的指數函數

其中定義域為所有實數

值域為正實數

在剛剛的定義中特別要求a不等於1

因為當a等於1時

f等於1的x次方等於1為常數函數

其圖形為一條水平直線

所以我們在討論指數函數時

通常只討論a大於0 a不等於1的情形

接下來我們描繪f等於2的x次方的圖形

首先我們先列出一些滿足

f等於2的x次方的點

接著我們將這些點

依序的畫在座標平面上

當描繪的點數夠多時

可透過平滑的曲線將這些點連起來

最後得到f等於2的x次方的圖形

接著我們再來看看

當底數a大於0 小於1的一個例子

以描繪f等於2分之1的x次方的

指數函數圖形來做介紹

首先我們先列出一些滿足

f等於2分之1的x次方的點

接著我們將這些點依序的畫在座標平面上

此外可以再描繪更多點

最後透過平滑的曲線將這些點連起來

即可得到

f等於2分之1的x次方的指數函數圖形