在前面的單元我們介紹過

每條x軸上方的水平線

和指數函數圖形 y等於a的x次方

只有一個交點

當底數a大於1時

畫面如下

當底數a大於0小於1時

畫面如下

也就是說如果a的α次方

等於a的β次方

則α等於β

下面我們透過一個例子來介紹

試解此方程式

2的3x加1次方等於16

當方程式的未知數出現在指數的位置時

我們稱此方程式為指數方程式

我們將2的3x加1次方等於16

寫成2的3x加1次方等於2的4次方

因為水平線與指數函數

y等於2的x次方的函數圖形

恰交於一點

故3x加1等於4

所以可以得到x等於1

下面我們再介紹一題指數方程式

試解 9的x次方減2乘以3的x加1次方減27等於0

可以先將底數都換成3

所以9的x次方可以表示成

3的平方的x次方

等於3的x次方的平方

而3的x加1次方可以寫成

3的1次方乘以3的x次方

若我們令t等於3的x次方

則原式可以寫成

t平方減2乘以3t減27等於0

做因式分解可以得到

括號t減9乘以括號t加3等於0

t等於9或-3

但t為3的x次方恆大於0

所以t等於-3不合

所以t等於9

但t並不是方程式中出現的未知數

所以我們要將t等於9寫成

3的x次方等於9

去找真正x的值

所以最後答案為x等於2

在前面的單元裡

我們介紹了指數函數圖形

y等於a的x次方

以底數a來區分

當a大於1時

指數函數圖形為嚴格遞增函數

即若x 大於x

則a的x 次方大於a的x 次方

反之亦然

當a大於0小於1時

指數函數圖形為嚴格遞減函數

即若x 大於x

則a的x 次方小於a的x 次方

反之亦然

所以我們可以透過上面的性質比較

根號2

3次根號4

4次根號8的大小關係

首先將三數都化成以2為底的指數

根號2等於2的2分之1次方

3次根號4等於2的3分之2次方

4次根號8等於2的4分之3次方

因為y等於2的x次方

是嚴格遞增函數

當x越大時y也會越大

所以2的4分之3次方

大於2的3分之2次方

大於2的2分之1次方

即4次根號8大於3次根號4

大於根號2

接下來我們利用指數函數圖形

嚴格遞增及嚴格遞減的性質

來解指數不等式的問題

題目如畫面所呈現

因為0.01可以表示成

10分之1的平方

所以不等式可以化為

10分之1的x平方次方

大於10分之1的2x次方

又因為10分之1大於0小於1

所以以10分之1為底的函數

為嚴格遞減函數

所以x平方小於2x

移項得到x平方減2x小於0

因式分解成x乘以括號x減2小於0

最後得到x大於0小於2