15世紀初

因歐洲文藝復興的興起

帶動海上遠洋航運的蓬勃發展

加上受到十字軍東征的影響

士兵們從遠東帶回來的香料非常珍貴

但因產地遙遠加上陸上貿易

受到伊斯蘭世界的阻礙而非常危險

因此刺激了歐洲貴族贊助船隊

以拓展海上貿易的航線

遠洋航運便成了歐洲當代相當重要的產業

航海需要測量

繪製地圖

觀測星象等

豐富的天文及地理學的知識

因此帶動了天文學和三角學的發展

但是礙於當時數學知識的局限

天文學家們有時候只是為了計算一個數字

卻需要浪費了若干年

甚至畢生的寶貴時間

去計算那些繁雜的天文數學

16世紀的德國數學家

史提弗（Michael Stifel, 1487-1567）

他是第一個使用指數名稱的數學家

在其著作《整數算術》中提出

等差數列與等比數列之間

有某種對應關係

等比數列中的數的乘除

可以轉化為等差數列中對應數的加減

例如等比數列中的任兩數

乘除關係可以轉化為

等差數列中對應到的兩數的加減關係

例如等比數列中的4乘16

可直接對應到等差數列中的2加4得出6

再對應回等比數列可以得到64

當數字很大時就可以節省許多計算時間

這是對數的核心概念

首先先讓我們用實際的例子來看看

對數如何簡化計算

利用上表我們在做

1000乘以100000的乘法的時候

先把1000和100000

對過去左邊的數

3和5做加法

得到的數8

再對回來右邊的100000000

就是乘法的結果

因此我們把右邊的數稱為真數

真正的數

左邊被對過去的數叫做對數

也就是次方

為了表示這個次方的底數為何

我們可以在寫對數時把底數呈現出來

因此高一學過的常用對數就是

當正數x等於10的L次方時

L等於log以10為底的x

等於log x

當底數是a時

以符號log以a為底表示

當底數是10時可以省略不寫

也就是底數的次方等於真數

乘以log以底數為底的真數

等於次方

這就是化乘除為加減啊

用數與它的次方這個對照表

兩數相乘只需做加減

不用做乘除了

仿照常用對數的定義

將底數從10改成為任意的正數

並定義對數如下

在上面的定義中

當a等於1時

1的L次方皆會等於1

因此log以1為底的1

可以寫成任何數

而log以1為底的2卻不可能發生

因此我們規定

a不等於1

接著讓我們來看一道例子

由上述例題中的第三小題可以得知

任意正數x可以表示成底數a

a為正數且不等於1的指數式

亦即x等於a的log以a為底的x次方

例如 3等於2的log以2為底的3次方

等於5的log以5為底的3次方

等於10的log以10為底的3次方

在上述的課程中我們得知了