大家還記得在上次的單元中

我們介紹了對數的定義嗎

在上面對數的定義中

我們可以知道對數是由指數定義的

由於指數會滿足指數律

所以對對數來說

也會有一些相對應

而且好用的運算性質喔

現在就讓我們來看下面的例子

我們都知道

10的平方乘以10的4次方

等於10的2加4次方

等於10的6次方

也就是說在指數的運算中

當底數相同的兩個數

進行乘法運算時

它們的次方也就是對數

實際上是在做加法運算

上述的式子透過對數的定義改寫

可以得到

log 100加log 10000等於2加4等於6

等於log 10的6次方

等於log 1000000

最後整理可得

log 100乘以10000

等於log 100加log 10000

上面的結果並非偶然

一般來說

我們有以下的對數律

接著讓我們來驗證這幾個對數律吧

設x等於log r

且y等於log s

根據對數的定義

即10的x次方等於r

且10的y次方等於s

因為r乘以s

等於10的x次方乘以10的y次方

等於10的x加y次方

所以由對數的定義得

log括號r乘以s

等於x加y

等於log r加log s

接下來讓我們驗證第二個對數律吧

設x等於log r

且y等於log s

因為s分之r

等於10的y次方分之10的x次方

等於10的x減y次方

所以由對數的定義得

log s分之r

等於x減y

等於log r減log s

最後我們驗證第三個對數律

設x等於log r

則r等於10的x次方

因此r的t次方

等於10的x次方括號的t次方

等於10的tx次方

所以由對數的定義得

log r的t次方

等於tx

等於t乘以log r

接著讓我們來看一道例子

例題 試求下列各式的值

接下來我們要介紹另一個神奇的公式喔

它叫做換底公式

它可是可以將任意數

做為底數的對數

轉換成常用對數呢

在上面的公式中

同學有沒有發現呢

log以a為底的b中的底數a

跑到分母變成log a了

而真數b變成分子的log b

為什麼會得到這樣的結果呢

接下來就讓我們來驗證這個式子吧

設x等於log a

且y等於log b

即a等於10的x次方

且b等於10的y次方

因為b等於10的y次方

等於10的x次方括號的

x分之y次方

等於a的x分之y次方

所以根據對數的定義

log以a為底的b

等於x分之y

等於log a分之log b

以log以2為底的3為例

我們就可以根據換底公式

將log以2為底的3

換成log 2分之log 3

一般而言

其他底數的對數

都可換成常用對數後再來求值

在上述的課程中

我們得到了幾個非常重要的對數律

這次的課程中

我們已經介紹了對數律以及換底公式

有了換底公式

我們可以利用它把log a換到分母

所有的運算就可以用

常用對數的對數律來做了

大家都學會了嗎

See You