自然界中若在養分充足的條件下

生物的繁殖速度會以指數方式成長

實驗室中常為了研究而進行的細菌培養

因為其成長週期短

配合以指數方式成長

所以繁殖速度極快

例如某細菌每小時會分裂一次

數量就會變為原來的2倍

經過2小時後

數量就會變成一開始的4倍

依此類推不斷的成長

經過x小時之後

細菌數量就會變為原來的

2的x次方倍

接下來我們來看以下例子

例題1

假設某項實驗中

細菌數每小時增加為原來的a倍

且已知3小時後細菌數為40000個

4.5小時後細菌數為320000個

試問實驗經過幾小時後

細菌數會到達2560000個

解答

假設實驗一開始的細菌數為x個

則3小時後的細菌數為

x乘以a的3次方個

也就是x乘以a的3次方等於40000

4.5小時後的細菌數為

x乘以a的4.5次方個

也就是x乘以a的4.5次方等於320000

將上下兩式相除可得

x乘以a的3次方分之x乘以a的4.5次方

等於40000分之320000

a的1.5次方等於a的2分之3次方

等於8

a等於8的3分之2次方

等於2的3次方的3分之2次方

等於2的平方

等於4

將a等於4代入x乘以a的3次方

等於40000

可得x乘以4的3次方

等於x乘以64

等於40000

x等於625

即實驗一開始的細菌數為625個

且每小時增加為原來的4倍

則經過t小時後細菌數為

625乘以4的t次方個

625乘以4的t次方

等於2560000

4的t次方等於625分之2560000

等於4096

等於4的6次方

t等於6

可知實驗經過6小時之後

細菌數會到達2560000個

這一題我們也可以考慮另一種解法

從題目得知細菌每小時增加為原來的a倍

且3小時後細菌數為40000個

4.5小時後細菌數為320000個

細菌數從40000變成320000

需1.5小時

可得40000乘以a的1.5次方

等於320000

a的1.5次方等於a的2分之3次方

等於8

所以a等於4

假設細菌數從320000個

變成2560000個需要t小時

則320000乘上4的t次方

等於2560000

t等於1.5

細菌數從320000變成2560000需要1.5小時

又實驗開始至細菌數為320000個需要4.5小時

4.5+1.5=6

實驗經過6小時後

細菌數會到達2560000個

介紹完自然界中的成長模型

接下來讓我們來探討一下衰退模型

碳-14定年法是考古學上常用的技術

碳是有機物的元素之一

我們可以根據死亡生物體的殘餘碳-14成份

來推斷它的存在年齡

生物在生存的時候

藉由呼吸攝入碳-14

在生物體內含量大致穩定不變

生物死去後停止呼吸

此時體內留存的碳-14因衰變開始減少

由於碳元素在自然界的各個同位素的比例

一直都很穩定

人們可透過測量一件古物的碳-14含量

來估計它的大概年齡

碳-14的半衰期約為5730年

亦即化石中的碳-14含量

每5730年會減少為原來的一半

由此方式可推斷出化石或古物的年代

例題2

考古學家發現了一批古代陶器

利用碳-14鑑定後

發現陶器的碳-14含量約為原來的16分之1

已知碳-14的半衰期約為5730年

求此陶器約為多少年前的古物

解答

假設此陶器為x年前的古物

碳-14的半衰期約為5730年

故x年代表經過了

5730分之x個半衰期

碳-14含量約為原來的

2分之1的5730分之x次方

可得2分之1的5730分之x次方

等於16分之1

等於2分之1的4次方

所以5730分之x等於4

x等於22920

故此陶器約為22920年前的古物

接下來我們來看一題跟本單元相關的學測題

例題3

經由這支影片

希望你已經了解

指對數的成長模型的基本概念