我們都知道風險比較低的理財方式

就是將錢存進銀行

那同學們知道

銀行常見的計息方式

有單利與複利兩種嗎

在這個單元中

我們要和同學們來討論這兩種計息方式

單利就是將所獲得的利息與本金分開

每期所領取的利息固定

如銀行的存本取息制

複利就是把每期所獲得的利息加上本金

一起當作下一期的本金

如整存整付制

例如某定存年利率為百分之1

本金為10萬元

以一年為一期

不同期數的本利和如下表

從上述的表格可以得知

以單利計算時

本利和隨著時間是以線性成長

而以複利計算時

本利和隨著時間是以指數成長

當時間軸拉越長

以指數成長的複利威力越大

讓我們歸納一下

假設一開始的本金為P元

每期利率為百分之r

單利與複利的本利和為下表

所以愛因斯坦曾經說過

複利是世界上的第八大奇蹟

威力勝過原子彈

雖然這句話是否出自愛因斯坦也許難以追查

但複利的強大威力卻無容置疑

接下來我們來看以下例子

例題1

複利的本利和會隨著時間以指數成長

接下來讓我們來思考一下

如果是在一年內的計息次數越多

本利和又有什麼變化呢

為了計算方便我們就以本金1萬元

年利率百分之100的條件下

討論一年後的本利和

一年複利計息一次

一年後的本利和等於

1乘以括號1加百分之100

等於2萬元

半年複利計息一次

年利率為百分之100

每半年計息一次所以半年的利率為

百分之100除以2等於百分之50

一年後的本利和等於

1乘以括號1加百分之100除以2的二次方

等於1乘以括號1加百分之50的二次方

等於1.5的平方

等於2.25萬元

一季也就是三個月複利計息一次

年利率為百分之100每三個月計息一次

所以三個月的利率為

百分之100除以4等於百分之25

一年後的本利和等於

1乘以括號1加百分之100除以4的四次方

等於1乘以括號1加百分之25的四次方

等於1.25的四次方

約等於2.4414萬元

一個月複利計息一次

年利率為百分之100

每個月計息一次

所以一個月的利率為

百分之100除以12約等於百分之8.33

一年後的本利和等於

1乘以括號1加百分之100除以12的十二次方

約等於1乘以括號1加百分之8.33的十二次方

約等於2.6121萬元

依此類推

同學請先按下暫停鍵並拿出計算機

試求出以下用不同時間計息的本利和

由上表中我們可以觀察到

當計息次數越多

本利和越大

而且會趨近於2.718

事實上這個值會趨近於一個常數

我們將這個常數記做e

而e的值大約是2.718281828

歐拉是第一位使用e來表示這個常數的數學家

所以常數e又稱為歐拉數

它就像圓周率π一樣

是一個無理數

也就是不循環的無限小數

假設本金為P元

年利率為r

一年計息n次

經過x年後的本利和為

P乘以括號1加n分之r的nx次方

當計息次數n越來越大

就如同分分秒秒

時時刻刻都在以複利計息

我們稱之為連續複利

此時本利和為P乘以e的rx次方

接下來我們來看以下例題

例題2

比較這三個方案

可知一年後領回最多的是方案A

前面的單元

我們介紹過以10為底的對數稱為常用對數

接下來我們來介紹另一種對數

以常數e為底的對數

即log以e為底的x

稱為自然對數

常記做ln x

當給定任意實數x大於0時

y等於ln x

稱為自然對數函數

因為y等於ln x

等於log e分之log x

約等於2.3 log x

所以y等於ln x的圖形特徵

會和y等於log x相似

接下來我們來思考一下以下的問題

例題3

在以上連續複利的情況下

或是討論自然界中細菌分裂

放射物質的衰變

假設它們時時刻刻都在進行演變

這些成長或衰退模型

都跟自然對數函數y等於ln x有關

經由這支影片

希望你已經了解連續複利的基本概念