日常生活中

因為人體的感知有極限

例如音量大到一定程度時

人的聽覺會變得鈍化

所以在聽覺上

聲音強度和分貝呈對數關係

且分貝數隨著聲音強度的增加而緩慢上升

接下來讓我們來探討

指對數在科學上的應用

例題1

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特來衡量

而分貝是音量的一個單位

且它與聲音強度的關係式如下

s等於10乘以log 10的-12次方分之w

棒球比賽場中

已知一支汽笛發出的聲音約為70分貝

若一百支汽笛同時合鳴

所測得的聲音大約為多少分貝

解答

一支汽笛發出的聲音為70分貝

代入關係式可得

70等於10乘以log 10的-12次方分之w1

7等於log 10的-12次方分之w1

10的-12次方分之w1等於10的7次方

所以w1等於10的7次方

乘以10的-12次方

等於10的-5次方

一支汽笛的聲音強度w1

等於10的-5次方瓦特/平方公尺

一百支汽笛同時合鳴的聲音強度w2

等於100乘以10的-5次方

等於10的-3次方瓦特/平方公尺

代入關係式可得

一百支汽笛同時合鳴的聲音s2

等於10乘以log 10的-12次方分之10的-3次方

等於90分貝

聽覺上在聲音強度和分貝之間呈對數關係

在視覺上亮度與視星等

也有類似的變化關係

例題2

星星的視星等y

與其亮度x之間的關係函數為

y等於-2分之5 log a分之x

其中a是織女星的亮度

已知觀測到某星的視星等為-2.5

求該星的亮度為織女星亮度的多少倍

解答

某星的視星等為-2.5代入關係函數

-2.5等於-2分之5 log a分之x

1等於log a分之x

a分之x等於10

該星的亮度為織女星亮度的10倍

接下來我們來看這題大考題

接下來讓我們來探討地震強度與規模之間的關係

例題3

目前國際使用芮氏規模來表示地震強度

設E為地震芮氏規模r時

震央所釋放出來的能量

r與E的關係如下

log E等於5.24加1.44r

第一題 某次地震其芮氏規模為4

試問其震央所釋放的能量E為多少

第二題 試問芮氏規模6的地震

其震央所釋放的能量

是芮氏規模4的地震所釋放能量之多少倍

解答

第一題

log E等於5.24加1.44乘以4

等於11

所以E等於10的11次方

第二題

log E分之E等於log E減log E

等於括號5.24加1.44乘以6

減掉括號5.24加1.44乘以4

等於1.44乘以括號6減4

等於2.88

E分之E等於10的2.88次方

利用計算機可得

E分之E約等於758.58倍

本單元介紹了指對數函數

在分貝 視星等 地震規模上的應用

其實指對數在科學上

還有許多不同的應用

例如化學上的值

或前個單元所提到的半衰期

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