當被一顆球打到時

我們都會感到一個作用力

這個作用力是無形的

我們肉眼看不見的

若要描述這個作用力

我們可以從施力的方向與施力的大小

這兩個面向來詮釋

因此作用力是一個具有方向與大小的量

一個質點的位移

同樣也涉及到位移的方向與位移的大小

這兩個面向

因此位移也是一個具有方向與大小的量

日常生活中有一些量

都是需要用方向與大小才能描述的量

例如作用力 位移 速度

這些具有大小與方向的量

在數學上我們都稱之為向量

這個單元我們將介紹在平面上的向量

如何以數學的方式來表示

在平面上考慮A B兩點所連接的線段

此線段可決定具有方向的箭頭

若箭頭為A點指向到B點

則這個具有方向的線段就稱為

A點到B點的有向線段

並將此有向線段以符號記為AB向量

其中A點稱為始點

B點稱為終點

這個由A點指向到B點的有向線段

不僅可以決定平面上的一個方向

其線段AB的長度也決定出一個量

我們將此稱為有向線段向量AB的長度

以符號記為向量AB的絕對值

在數學上

我們把具有大小及方向的量稱為向量

因為一個有向線段確實可呈現大小及方向

因此在幾何上我們就用有向線段來表示向量

如果兩個長度相等方向相同的有向線段

則我們稱這兩個有向線段所表示的向量相等

所以將一個有向線段進行平移後

兩者所決定的向量是相同的

因為向量只在意方向跟大小

如果沒有要標記始點的位置

則我們也可以用單一的字母來表示向量

例如我們可以將向量AB記為向量a

特別的如果一個向量的始點與終點重合

則這樣的向量稱為零向量

例如向量AA即為零向量

我們特別將零向量以數字0搭配向量箭頭來表示

表示一個大小為0的向量

而其方向我們則不特別討論

在幾何上我們使用有向線段

來作為一個向量v的幾何表達

若將一個向量放置在一個直角坐標系中

將向量平移使得始點落在原點的位置上

那麼此時的終點坐標

就可以作為向量v的代數表達

我們記為向量v等於

其概念為向量的始點到終點

水平的變化量為a

而鉛直的變化量為b

我們將a稱為向量v的x分量

而b就稱為向量v的y分量

透過畢氏定理可知

向量v等於的大小即為

向量v的絕對值等於根號a平方加b平方

讓我們用一個實際的例子來說明

考慮平面上兩點A與B

因為由A點到B點的水平變化量為

4-1=3

鉛直變化量為

3-2=1

因此向量AB可以用序對來表達

由此可知

一個向量只要利用終點坐標與始點坐標的差

即可得到該向量的坐標表示法

對於一般情形

若向量的始點為A

終點為B

則向量AB等於