我們都知道物體的位移可以視為一個向量 若物體從A點平移到B點 再從B點平移到C點 則兩次的平移怎麼整合在一起呢 在物理上作用力也可以視為一個向量 當有兩個作用力F 向量與F 向量 同時施力在物體上 則兩個作用力 是否也可以整合成一個單獨的作用力呢 以上兩個問題都涉及到 兩個向量之間的運算 而這個單元我們要介紹 向量之間的加法與減法的概念 若物體從A點平移到B點 則可視為向量AB 若再次將物體從B點平移到C點 則可視為向量BC 兩次平移過程的最初始點為A 最後的終點為C 則這兩次平移 就可以整合為將物體從 A平移到C的單次平移 此單次平移也可以視為向量AC 因此我們將向量AB與向量BC的加法 定義為向量AC 以符號表示為 向量AB加向量BC等於向量AC 對於兩個向量向量a與向量b 將向量a的終點與向量b的始點重合 則向量a的始點與向量b的終點 所形成的向量c即為 向量a加向量b 一般而言若向量a與向量b不平行 則向量a 向量b 與向量a加向量b 會形成一個三角形的三邊關係 若向量a與向量b同方向 則向量a加向量b 即為兩個箭頭合併後的結果 若向量a與向量b反方向 則向量a加向量b 即為兩個箭頭抵銷後的結果 若將向量a與向量b的起點重合在一起 則可知向量a加向量b 也可以視為向量a與向量b 所決定的平行四邊形對角線 所形成的向量 因此向量加法的幾何表示 不僅可以用三角形三邊關係來理解 也可以用平行四邊形對角線關係來呈現 同學們還記得什麼是向量的坐標表示法嗎 若始點到終點的水平變化量為a 且鉛直變化量為a 則即為此向量的坐標表示法 坐標表示法是向量重要的概念 對於兩個向量 向量a等於 與向量b等於 那麼該如何決定 向量a加向量b的坐標表示法呢 將向量a的起點設定為原點 則向量a的終點坐標為 令向量b的起點坐標為 則向量b的終點坐標為 ,2+4) 等於 因此向量a加向量b的坐標表示法為 可視為向量a與向量b的坐標表示法的 分量個別相加所得的結果 若以平行四邊形的觀點來看 也可將向量a與向量b的起點皆設定為原點 則平行四邊形對角線上的坐標為 ,2+4) 等於 即是向量a加向量b的坐標表示法 可知給定兩個向量的坐標表示法 向量a等於 與向量b等於 則向量a加向量b等於 加 等於 對於一個向量a等於 與向量a大小相等且方向相反的向量 我們稱為向量a的反向量 記為-a 在直角坐標系中 不難看出-a的坐標表示法即為 一般而言向量a等於的反向量 即為-a 等於 兩者互為大小相等且方向相反的向量 由於向量AB的反向量與向量AB方向相反 因此將起點與終點對調之後 向量AB的反向量就是向量BA 所以-AB等於向量BA 對於向量a與向量b 我們將兩向量的減法向量a減向量b 定義為向量a與-b的加法 意即向量a減向量b 對於向量a加括號-b 令向量a等於向量OA 向量b等於向量OB 則可知向量a減向量b 等於向量OA減向量OB 等於向量BA 考慮向量a等於 向量b等於 因為-b等於 所以可知 因此向量a減向量b的坐標表示法 可視為向量a與向量b的坐標表示法的分量 個別相減所得的結果 在瞭解了向量的加法與減法的概念之後 利用坐標運算規則 我們就可以知道有下列性質 向量a加向量b等於向量b加向量a 括號向量a加向量b加向量c 等於向量a加括號向量b加向量c 向量a加0向量等於0向量加向量a 等於向量a 若向量a加向量b等於向量a加向量c 則向量b等於向量c 向量a加括號-向量a等於0向量 這幾個性質同學們不妨可以嘗試用 向量的坐標表示法來驗證看看喔