在上次的課程中 已經介紹向量加法的概念 現在我們簡單的複習一下 如果給定一個向量 a向量 那麼a向量加a向量 在幾何上及坐標表示上 代表什麼含意呢 在幾何上我們可以知道 a向量與a向量的合力 其方向不變 但向量的長度會伸縮為原本的2倍 若考慮其坐標表示法 若a向量等於 則可知a向量加a向量 等於加上 等於 其中每個分量皆為原始向量的2倍 所以從上面的概念 我們可以將a向量加a向量 理解成它是a向量的兩倍 在符號上將a向量加a向量記為 2a向量 這表示2a向量是一個與a向量 同方向且長度為兩倍的向量 相同的再讓我們來考慮 a向量加a向量加a向量 在幾何上我們知道3個a向量的合力 其方向不變 長度則伸縮為原本的3倍 若考慮其坐標表示法 則可知a向量加a向量加a向量 等於加加 等於 從上面我們可以發現 每個分量皆為原始向量的3倍 因此我們也可以將a向量加a向量加a向量 理解成它是a向量的3倍 因此在符號上將a向量加a向量加a向量 記為3a向量 這表示3a向量是一個與a向量同方向 且長度為3倍的向量 所以由上面的討論我們可以知道 令k為正整數 則我們可以將k個a向量的合力以符號記為 ka向量 其意義為一個正整數k 乘上向量a 而ka向量就表示與a向量同方向 且長度伸縮為k倍後所得到的向量 其坐標表示法為k個相加 即為 一般而言 對於任意實數r 且a向量為非零向量 若r大於0 則ra向量表示與a向量同方向 且長度伸縮為r倍後所得的向量 若r小於0 則ra向量表示與a向量反方向 且長度伸縮為-r倍後所得的向量 我們將ra向量稱為實數r與a向量的係數積 其中r的絕對值代表伸縮倍率 而r的正負號表示與a向量的方向性 特別的當r等於0 或a向量為零向量時 則ra向量即為0向量 一般而言 係數積ra向量我們亦可稱為 a向量乘上r倍 或r倍的a向量 例如畫面中的a向量 則2分之5a向量即為 與a向量同方向且長度伸縮為 2分之5倍後的向量 而-3a向量即為與a向量反方向 且長度伸縮為3倍後的向量 在剛剛的課程討論中 令a向量等於 考慮實數r與a向量的係數積 當r大於0時 既然ra向量表示將a向量的長度伸縮為r倍 因此可知ra向量的坐標表示法 即為 當r小於0時 因為ra向量是將a向量的長度 伸縮為-r倍且方向相反 因此ra向量的坐標表示法亦為 由此可知對任意實數r與a向量 等於 係數積ra向量等於 例如a向量等於 則2分之3a向量等於 2分之3乘以4 2分之3乘以2 等於 而-3a向量等於 -3乘以4 -3乘以2 等於 利用向量針對加法 減法 係數積的坐標表示法 對於任意實數r s 我們可以得到以下性質 s倍的a向量再乘上r倍 等於rs倍的a向量 r倍的a向量加上s倍的a向量 等於r加s倍的a向量 a向量加b向量再乘上r倍 等於r倍的a向量加上r倍的b向量 以上都可以透過坐標表示得到證明喔 對任意非零實數r 因為a向量與ra向量同方向或反方向 這樣同方向或反方向的情況 我們稱a向量與ra向量為平行 反之若兩個非零向量 a向量與b向量為平行向量 則b向量必為某個非零實數r 與a向量的係數積 即為b向量等於ra向量 由此可知考慮兩個非零向量 a向量與b向量平行 與存在非零實數r 使得b向量等於ra向量 是相同的概念 我們將a向量與b向量平行 以符號記為a向量平行於b向量 考慮a向量等於 與b向量等於 皆為非零向量 若a向量與b向量為平行向量 則存在非零實數r 使得b向量等於ra向量 這表示等於 可知b 等於ra 且b 等於ra 將第一個等式同乘a 可得 a b 等於ra a 將第二個等式同乘a 可得 a b 等於ra a 所以a b 等於a b 這表示將平行向量 a向量與b向量的外項相乘 會等於內項相乘 由此可知 若非零向量a向量與b向量為平行向量 則a向量與b向量滿足 a b 等於a b 反之令a向量與b向量滿足a b 等於a b 若a b 等於a b 不等於0 則a 比a 等於b 比b 這表示存在非零實數r 使得b向量等於ra向量 特別的當a b 等於a b 等於0時 若a 等於0 則依序可知 a 不等於0 b 等於0 b 不等於0 這表示存在非零實數r 等於a 分之b 使得b向量等於ra向量 若b 等於0 則依序可知 b 不等於0 a 等於0 a 不等於0 這表示存在非零實數r 等於a 分之b 使得b向量等於ra向量 由此可知 若非零向量a向量與b向量 滿足a b 等於a b 則a向量與b向量為平行向量 考慮a向量等於 與b向量等於 綜合剛剛的討論 我們可以得知a向量與b向量平行 與分量上滿足a b 等於a b 是等價的概念