上一個單元

我們學了向量係數積與平行的概念

考慮向量a向量對於任意實數r

我們將r乘以a向量

稱為實數r與a向量的係數積

係數積ra向量可視為

a向量伸縮之後所得的向量

其中r的絕對值為伸縮倍率

且r的正負號顯示

ra向量與a向量的方向性

有關向量的係數積具有以下性質

1.若r大於0

則ra向量與a向量同方向

若r小於0

則ra向量與a向量反方向

2.ra向量的長度

等於a向量的r的絕對值倍

3.若a向量等於

則ra向量的坐標表示法為

透過係數積

我們也定義了兩向量平行的概念

若b向量等於ra向量

為a向量的係數積

若a向量與b向量為兩個非零向量

則a向量與b向量為平行向量

換句話說

存在非零實數r

使得b向量等於r倍的a向量

與a向量平行b向量意義相等

事實上兩平行向量的坐標表示法

具有一定的關係

考慮a向量等於

與b向量等於

若a向量與b向量平行

根據上面的觀念

我們可以得知

b向量等於t倍的a向量

以坐標表示法即為

b b 等於t倍的a a

則b 等於ta

且b 等於ta

因此我們可以得到a 乘b 等於a 乘b

所以可知a向量與b向量平行

與分量上滿足a 乘b 等於a 乘b

是等價的概念

同學們也可以依照畫面上這樣來記憶

這個單元

我們將利用幾個例子來介紹

係數積的相關應用

讓我們先看以下幾個問題

令a向量等於

依序求出下列各個向量的坐標表示法

1.b向量與a向量同方向

且長度為1

則b向量的坐標表示法為何

因為b向量與a向量同方向

所以b向量等於r倍的a向量

其中r大於0

由於a向量的絕對值等於

根號3平方加4平方等於5

且b向量的絕對值等於

r的絕對值乘以a向量的絕對值

等於5倍的r的絕對值

等於1

可知r等於5分之1

故b向量等於5分之1 a向量

等於5分之1

等於

2.c向量與a向量同方向

且長度為10

則c向量的坐標表示法為何

因為c向量與a向量同方向

所以c向量等於r倍的a向量

其中r大於0

由於c向量的絕對值

等於r的絕對值乘a向量的絕對值

等於5倍的r的絕對值

等於10

可知r等於2

故c向量等於2倍的a向量

等於2倍的

等於

3.d向量與a向量同方向

且長度為8

則d向量的坐標表示法為何

因為d向量與a向量同方向

所以d向量等於r倍的a向量

其中r大於0

由於d向量的絕對值

等於r的絕對值乘a向量的絕對值

等於5倍的r的絕對值

等於8

可知r等於5分之8

故d向量等於5分之8 a向量

等於5分之8倍的

等於

4.e向量與a向量反方向

且長度為4

則e向量的坐標表示法為何

因為e向量與a向量反方向

所以e向量等於r倍的a向量

其中r小於0

由於e向量的絕對值

等於r的絕對值乘a向量的絕對值

等於5倍的r的絕對值

等於4

可知r等於5分之-4

故e向量等於5分之-4的a向量

等於5分之-4倍的

等於

對於平面上相異三個點

我們也可以利用向量平行的概念

來判別三個點是否共線

讓我們來看下面幾個例子

首先看第一個例子

平面上有相異三點

A點等於

B點等於

C點等於

與D點等於

考慮向量AB等於

與向量BC等於

因為向量AB等於2倍的向量BC

所以向量AB平行於向量BC

可知A B C三點共線

讓我們再看第二個例子

考慮向量AB等於

與向量BD等於

因為向量AB無法表示為向量BD的係數積

所以向量AB與向量BD不平行

可知A B D三點不共線

會形成折線

令a向量等於

b向量等於

與c向量等於

考慮a向量加t倍的b向量

因為不同的實數t

將使得此向量有不同的大小與方向

那麼實數t要等於多少

才能使得a向量加t倍的b向量

與c向量平行呢

因為a向量加t倍的b向量

等於加t倍的

等於

若欲使a向量加t倍的b向量

與c向量平行

則將它們的分量交叉相乘之後

必為相等的值

也就是括號5加t乘以5

等於括號1加3t乘以4

化簡後可得

25加5t等於4加12t

移項整理後可知

7t等於21

故t等於3

這表示當實數t等於3時

a向量加3倍的b向量

與c向量即為平行向量