令a向量與b向量為兩個不平行的非零向量 若c向量等於2a向量加3b向量 這表示透過a向量與b向量 各別的係數積再相加 即可得到c向量 這時候我們稱c向量為 a向量與b向量的線性組合 一般而言 兩個非零向量a向量與b向量 考慮向量的係數積與加法 我們將xa向量加yb向量 稱為a向量與b向量的線性組合 其中實數x y稱為線性組合的係數 如畫面所示 3a向量加2b向量 與2a向量減3b向量 皆為a向量與b向量的線性組合 給定向量OA與向量OB 為不平行的非零向量 令x向量OA等於向量OA' y向量OB等於向量OB' 考慮線性組合 向量OP等於x向量OA加y向量OB 則O A' P B'四點將形成平行四邊形 反之對於平面上任意向量向量OP 我們可以分別將向量OA與向量OB 伸縮為向量OA'等於x向量OA 與向量OB'等於y向量OB 使得O A' P B'決定一個平行四邊形 其中向量OP等於向量OA'加向量OB' 等於x向量OA加y向量OB 因此向量OP亦可表示為 向量OA與向量OB的線性組合 我們不難發現 當向量OA與向量OB 為不平行的非零向量時 令向量OA所決定的直線為L1 向量OB所決定的直線為L2 給定平面上任意向量向量OP 過P點分別做與L1與L2平行的直線 可得L3與L4 在幾何上可知L1與L4有唯一交點A' 而L2與L3也有唯一交點B' 由此可知 我們可以決定唯一的平行四邊形O A' P B' 其中存在唯一的實數x y 滿足向量OA'等於x向量OA 與向量OB'等於y向量OB 因為向量OP等於x向量OA加y向量OB 所以向量OP即為向量OA 與向量OB的線性組合 這表示線性組合的係數是存在且唯一的 在這個推論的過程中 我們知道存在唯一的實數x y 滿足向量OP等於x向量OA加y向量OB 是建立在向量OA與向量OB 為不平行的條件之上 因此我們有以下結論 若向量OA與向量OB 為不平行的非零向量 則存在唯一的實數x y 使得向量OP等於x向量OA加y向量OB 換句話說 任意向量以向量OA與向量OB 表示的線性組合 係數是唯一的 事實上若存在唯一的實數x y 使得向量OP等於x向量OA加y向量OB 則向量OA與向量OB 必為不平行的非零向量 也就是說 向量OA與向量OB不平行 與實數x y是唯一的 兩者是等價的關係 同學們可以試著自己證明看看喔 剛剛我們利用幾何的觀念 來解釋線性組合 那麼現在我們要用向量的坐標表示法 來說明線性組合在代數上的意涵 讓我們先看下面的例子 令向量OA等於 向量OB等於 向量OP等於 我們想要將向量OP表示為 向量OA與向量OB的線性組合 因為向量OA與向量OB 為不平行的向量 所以存在唯一的實數x y 使得向量OP等於x向量OA加y向量OB 那麼我們該如何求出實數x y呢 透過向量的坐標表示法 我們可以將線性組合關係式表示為 等於x倍的 加y倍的 經整理後可得聯立方程組 2x加4y等於14 -3x加5y等於1 利用加減消去法即可求得唯一解 為x等於3與y等於2 這表示向量OP等於3向量OA加2向量OB 我們可以將向量畫在坐標平面上 看出線性組合的相對關係 在幾何上的結果與坐標表示法 求得的值是有一致性的 一般而言給定量向量OA等於 向量OB等於 考慮向量OP等於 表示為向量OA與向量OB的線性組合 則向量OP等於x向量OA 加y向量OB的關係式 等價於聯立方程組 a x加b y等於p 這個聯立方程組在坐標平面上 代表兩條直線 而兩直線有唯一的交點 等價於兩直線為不平行 而兩直線為不平行 等價於a 比a 不等於b 比b 亦等價於向量OA與向量OB為不平行 這與我們剛剛在幾何上的分析 有相同的結論 假設向量OA與向量OB為平行向量 那麼對於線性組合的係數 會有什麼樣的可能性呢 我們不妨令向量OA等於 與向量OB等於 若向量OP等於 且向量OP等於x向量OA加y向量OB 則線性組合關係式 可得聯立方程組 2x加4y等於10 x加2y等於5 在坐標平面上為重合的兩直線 因此線性組合的係數x y有無限多組解 例如向量OP可以表示為 向量OA加2向量OB 也可以表示為 3向量OA加向量OB 我們可以發覺 因為向量OP與向量OA也平行 欲將向量OP表示為 向量OA與向量OB的線性組合 其可能性不只一種 係數並不具備唯一性 事實上有無限多種可能性 若向量OQ等於 且向量OQ等於x向量OA加y向量OB 則線性組合關係式 可得聯立方程組 2x加4y等於10 x加2y等於4 在坐標平面上為平行的兩直線 因此線性組合的係數x y為無解 我們可以發覺 因為向量OQ與向量OA不平行 欲將向量OQ表示為 向量OA與向量OB的線性組合 平行向量向量OA與向量OB 是無法經過線性組合來得到向量OQ