在實數線上 令A B兩點在數線上的坐標 分別為a b 若P點在線段AB之間 使得線段AP比線段PB 等於m比n 則P點的坐標即為 m加n分之na加mb 這就是數線上的分點公式 例如數線上A點的坐標為4 B的坐標為20 若P在線段AB之間 滿足線段長 線段AP比線段PB 等於5比3 則P點的坐標即為 5加3分之3乘以4加5乘以20 等於8分之112 等於14 數線上的分點公式告訴我們 只要能夠知道線段PA與線段PB的比例 則內分點P的坐標即可透過 A B兩點在數線上的坐標來求得 我們好奇這樣的結果是否可以推廣 在坐標平面上是否仍保有類似的關係 在坐標平面上 將x軸視為數線 令A的坐標為 B的坐標為 若P在線段AB之間 滿足線段長 線段AP比線段PB 等於m比n 根據數線上的分點公式 可知P點的坐標為 令O為原點 根據向量的係數積 與坐標表示法可得知 向量OP等於m加n分之n 乘以向量OA 加m加n分之m 乘以向量OB 其中線性組合的係數 與線段的比例有直接的相關性 接下來我們將說明 此線性組合關係 在坐標平面上具有一般性 先看以下的例子 令A B為坐標平面上相異兩點 P點為線段AB的內分點 其中線段AP比線段PB等於5比3 令O為平面上任意一點 我們考慮將向量OP表示為 向量OA與向量OB的線性組合 根據向量的減法 可知向量AB等於向量OB減向量OA 再根據線段比例關係 可知向量AP等於8分之5向量AB 等於8分之5乘以括號向量OB減向量OA 因為向量OP等於向量OA加向量AP 將向量AP替換之後 可得向量OA加8分之5 乘以括號向量OB減向量OA 等於8分之3向量OA 加8分之5向量OB 由此可知 向量OP等於8分之3向量OA 加8分之5向量OB 其中線性組合的係數 8分之3與8分之5 皆與線段比例有密切關係 讓我們來看一般的情形 藉此看出線性組合的係數 與線段比例的實際關係 令A B為坐標平面上相異兩點 P為線段AB的內分點 其中線段AP比線段PB 等於m比n 令O為平面上任意一點 考慮將向量OP表示為 向量OA與向量OB的線性組合 根據向量的減法 可知向量AB等於向量OB減向量OA 再根據線段比例關係可知 向量AP等於m加n分之m向量OA 等於m加n分之m乘以括號 向量OB減向量OA 因為向量OP等於向量OA加向量AP 將向量AP替換之後可得 向量OA加m加n分之m乘以括號 向量OB減向量OA 等於m加n分之n向量OA 加m加n分之m向量OB 由此可知 向量OP等於m加n分之n向量OA 加m加n分之m向量OB 其中線性組合的係數 m加n分之n與m加n分之m 可直接由線段比例求得 只要給定線段的比例 則可以直接求得線性組合的係數 我們將這樣的結果 稱為向量的分點公式 向量的分點公式說明了 當P為線段AB的內分點 滿足線段AP比線段PB 等於m比n 則向量OP等於m加n分之n向量OA 加m向量OB 倘若我們將O視為原點 則向量OP 向量OA 與向量OB的坐標表示法 即分別為P A與B點的坐標 若A點的坐標為 B點的坐標為 則P點的坐標即為 m加n分之nA加mB 等於 我們可以發現 此結果與在數線上的分點公式 有一致性 並將此結果稱為 平面坐標的分點公式 特殊情況 若P為線段AB的內分點 滿足線段AP比線段PB 等於1比1 則可知P點的坐標即為 2分之A加B 等於 這就是我們熟知的中點公式 在瞭解了向量的分點公式之後 在幾何上即可以得到許多有趣的結論 這裡我們以三角形的重心為例 重心是三角形三條中線的交點 令三角形ABC的重心為G 且P點為直線CG與線段AB的交點 可知線段AP比線段PB 等於1比1 與線段CG比線段GP 等於2比1 根據向量的分點公式可知 向量CP等於2分之1向量CA 加2分之1向量CB 因為線段CG比線段GP 等於2比1 所以向量CG等於3分之2向量CP 將向量CP替換之後可得 3分之2乘以括號 2分之1向量CA加2分之1向量CB 等於3分之1向量CA加3分之1向量CB 因為向量CG等於 3分之1向量CA加3分之1向量CB 令O為任意一點 透過向量的拆解可得 向量OG減向量OC等於 3分之1括號向量OA減向量OC 加3分之1括號向量OB減向量OC 移項整理後即為 向量OG等於3分之1括號 向量OA加向量OB加向量OC 若將O視為原點 則此關係式表示 G等於3分之1乘以括號A加B加C 意即重心G的坐標 為三頂點A B C坐標的平均值 也就是當三頂點的坐標為 與時 則重心坐標即為 我們將此結果稱為 三角形的重心坐標公式 另外因為向量OG等於3分之1括號 向量OA加向量OB加向量OC 若將O視為重心G 則可得向量GG等於3分之1 向量GA加向量GB加向量GC 意即向量GA加向量GB加向量GC 等於0向量 也就是重心到三頂點的向量合力為零 這也表示若三角形是質量均勻分布 其重心就是三角形的質量分布中心