在軌道上有一輛前方綁著繩子的臺車

我們試著用繩子將臺車

沿軌道方向拉前進

那我們要如何拉

相對起來會比較輕鬆呢

1. 站在圖中的A點的位置拉

2. 站在圖中的B點的位置拉

3. 站在圖中的C點的位置拉

4. 站在圖中的D點的位置拉

很明顯地

我們不會在A點位置拉動臺車

因為A點位置跟我們想移動的方向完全不一樣

而且我們也可以知道

剩下來的B C D三點中

在D點位置是最輕鬆的

接下來是C點

最後才是B點

所以我們可以知道

即使拉動的力量大小相同

但是拉動的角度

還是影響是否輕鬆的一個因素

而這裡所提到的角度

就是台車位移與拉力所夾的夾角

而剛剛所說的位移與拉力

在數學上都是向量

而位移與拉力的夾角

也就是向量的夾角

我們來看看什麼叫做向量夾角吧

向量的夾角的定義

給定兩個非零向量

a向量 b向量

我們可以將其中一個向量平移

使兩個向量的始點重合

如圖所示

此時角θ稱為向量a與向量b的夾角

這裡要特別注意的是

兩向量的始點必須要重合

讓我們利用圖形實際來看看

在不同的情況下

向量a與向量b的夾角

畫面上我們看到兩個始點重合的向量

當兩個向量長這個樣子的時候

向量的夾角為60度

而當兩向量長這個樣子的時候

夾角為120度

特別要注意的是

當兩向量長這個樣子的時候

夾角必須要看的是這個角

也就是夾角仍為120度

因此當b向量這樣子旋轉的時候

a向量與b向量的夾角會從0度

一直慢慢增加到180度

而再繼續旋轉下去的話

夾角要看的是右下方的夾角

因此夾角依舊不會超過180度

而當兩向量方向同方向的時候

其夾角為0度

當兩向量方向反方向的時候

其夾角為180度

所以我們可以知道一個結論

兩向量的夾角θ介於0度到180度之間

也就是θ大於等於0度

且小於等於180度

讓我們來試著求向量的夾角吧

測驗1

從圖中我們可以很明顯地知道

AB向量與AC向量的夾角

就是角A

也就是60度

請同學們特別注意

答案不是60度囉

請同學仔細思考一下

在始點重合的情況下

AB向量與BC向量的夾角為幾度才正確呢

我們必須要將AB向量向右平移

使其始點與BC向量的始點重合

所夾的角度才是AB向量與BC向量的夾角

因此可以知道AB向量與BC向量的夾角

就是三角形ABC中角B的外角

也就是120度

相信大家對於向量的夾角有近一步的認識了

讓我們回到一開始

臺車位移與拉力的圖形

在物理學中用定力推動一物體

如果施力f向量

與物體位移d向量的夾角

為θ角

那麼力f向量在位移d向量方向上的分力

為f向量的絕對值乘cos θ

如圖所示

此時力f向量對該物體所作的功為

W等於f向量的絕對值乘cos θ

乘上d向量的絕對值

等於f向量的絕對值乘上d向量絕對值

乘上cos θ

在數學上我們將f向量的絕對值

乘上d向量絕對值乘上cos θ

定義為向量f與向量d的內積

讓我們來看看內積的定義

當兩個非零向量

a向量與b向量的夾角為θ時

定義a向量與b向量的內積為

a向量的絕對值乘上b向量的絕對值乘上cos θ

以a向量‧b向量表示

即a向量‧b向量等於

a向量的絕對值乘上b向量的絕對值乘cos θ

要注意的是

在內積a向量‧b向量的記法中

中間的‧不能省略

也不可以寫成×

符號a向量×b向量另有特定的含義

但在本單元中先不作介紹

讓我們來試著求向量的內積吧

根據前面的內積的運算

我們可以來思考幾個問題

相信同學心中都馬上蹦出一個答案

沒錯

我們規定任意向量a與向量0的內積為0

這個問題就留給同學們思考

後面的章節我們將做更詳細的介紹

重點1 給定兩個非零向量a向量 b向量

我們可以將其中一個向量平移

使兩個向量的始點重合 如圖所示

此時角θ稱為向量a與向量b的夾角

當兩向量如下圖時

其夾角為銳角

當兩向量如下圖時

其夾角為鈍角

當兩向量同方向時

其夾角為0度

當兩向量反方向時

其夾角為180度