各位同學 還記得我們在上一部影片中 兩向量向量a與向量b的內積 向量a‧向量b要怎麼運算 需要哪些條件呢 相信大家還記得 要算內積之前 我們需要向量a的絕對值 與向量b的絕對值 以及兩向量的夾角θ 則可以利用向量a‧向量b 等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘cos θ 求出向量a‧向量b的值 此外同學也應該還記得 向量的表示法 除了可以用長度大小與方向表示之外 也可以利用坐標表示法表示向量 那我們來想想看 如果向量a與向量b的坐標表示法為 向量a等於 向量b等於 則向量a與向量b的內積向量a‧向量b 如何用分量來表示呢 我們直接來看一個例子 範例1 已知O為原點 且向量OA等於 向量OB等於 試求兩向量 向量OA與向量OB內積為何呢 各位同學可以先從圖形中 觀察一下 向量OA與向量OB的夾角是幾度呢 因為向量OA在正x軸上 而向量OB等於 所以向量OA與向量OB的夾角為45度 再利用上一部影片所提到的 向量a與向量b的內積為 向量a‧向量b 等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘cos θ 先計算這題的向量OA的絕對值等於2 與向量OB的絕對值等於 根號1平方加1平方 等於根號2 就得到向量OA‧向量OB 等於向量OA的絕對值 乘向量OB的絕對值 乘cos 45度 等於2乘以根號2 乘以2分之根號2 等於2 那如果對於任意兩向量 向量a等於 向量b等於 在無法馬上看出兩向量的夾角θ 為幾度的情況下 該如何算內積呢 能不能直接利用向量a等於 與向量b等於的分量 a a b b 來計算向量a與向量b的內積 向量a‧向量b呢 以下我們提供另一種求內積的方法 重點內積的坐標表示法 若向量a等於 向量b等於 是坐標平面上兩任意向量 則向量a與向量b的內積為 向量a‧向量b等於a b 加a b 畫面中兩向量只是利用向量a與向量b分量 a a b b 兩兩相乘再相加的運算 就能求出向量a與向量b的內積 讓我們利用這種求內積的算法 再回去看看範例1的題目 利用剛剛所介紹的兩向量 a向量與b向量的內積為 向量a‧向量b等於a b 加a b 就可以得到內積的結果為 向量OA‧向量OB 等於2乘以1加0乘以1 等於2 從範例1的兩個方法所算出的答案來看 算法雖然不一樣 但最後的結果都等於2 而事實上對於任意的向量a 向量b兩向量 這兩種內積的算法 所算出來的結果都是一樣的 也就是兩向量向量a與向量b的內積可以是 向量a‧向量b 等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘cos θ 也可以是向量a‧向量b 等於a b 加a b 同學對於內積的坐標表示法 向量a‧向量b 等於a b 加a b 有了一定的了解 而內積還有上一部影片所介紹的 另一種算法 也就是向量a‧向量b 也等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘cos θ 而算內積是要用畫面中的第一個式子去運算 還是第二個式子去運算 就看題目所給的條件是什麼 很明顯的 如果知道的是兩向量的坐標表示法的話 就會用第一個式子去運算 如果知道兩向量長度跟夾角的話 就會用第二個式子去運算 我們再來看一個例子 這兩題都是算內積 但因為兩題給的條件不一樣 所以運算的方式也有不同 第小題給的是長度與夾角 所以我們利用 而第小題給的是向量的坐標表示 所以我們利用 接下來我們來介紹內積的性質 設r為實數 向量a 向量b 向量c為向量 向量a‧向量a等於向量a的絕對值的平方 向量a‧向量b等於向量b‧向量a r向量a‧向量b等於r向量a‧向量b 向量a‧括號向量b加向量c 等於向量a‧向量b加向量a‧向量c 這些性質都可以由內積的定義直接證得 我們只證明性質如下 最後我們再來看一個例子 這是常見的問題 請同學務必多加留意 從向量a‧向量b 等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘cos θ 等於a b 加a b 這個式子裡 可以看到向量a的絕對值 向量b的絕對值 兩向量的夾角θ 以及向量a與向量b分量 a a b b 也就是說如果 向量a等於 向量b等於 是否就能求出向量a與向量b的夾角 同學可以思考一下這個問題 而這個概念我們將在下一部影片 有完整的介紹