相信大家都聽過人臉辨識 其實人臉辨識裡的其中一種原理 就跟向量有關 如圖將某人的鼻心 嘴角 眼角 幾個特徵點加上坐標 就可以得到很多個向量 我們以鼻心到右邊嘴角所成的向量 以下簡稱向量a為例 在首次設定人臉辨識後 手機已經紀錄了向量a 在理想狀態下 你下次再掃出來的鼻心到右邊嘴角 所成的向量a' 會跟首次設定的向量a相等 在所有臉上特徵所形成的向量 都相等的情況下 那麼手機就可以確定是你本人 然而可能因為拍攝的角度不同 或是表情的變化 會導致原本的向量a 與後來的向量a' 有一點點的差異 也就是向量a與向量a' 出現了非零度的夾角 但不能因為這樣的一點點差異 就無法辨識出你本人 因此我們認定這個角度只要小於某個值 就算可以接受的差異 而怎麼利用向量去求夾角 就是這部影片的重點之一 從上部影片知道 若向量a等於 向量b等於 那麼內積向量a‧向量b 除了可以用向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘cos θ計算外 也可以用a b 加a b 計算 而上部影片的最後 我們提出了一個問題 已知向量a等於 向量b等於 則向量a與向量b的夾角θ 該如何計算呢 其實這個問題在畫面中 就幾乎看得到答案了 畫面中我們可以利用 向量a等於 向量b等於 去求向量a的絕對值 等於根號a 的平方加a 的平方 與向量b的絕對值 等於根號b 的平方加b 的平方 也可以求內積a b 加a b 的值 很明顯地這個式子只剩下cos θ以外 其他都是已知 而再將向量a的絕對值 與向量b的絕對值移項 則可以得到夾角θ的cos值為 cos θ等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 分之a b 加a b 或者我們可以簡單一點的寫成 cos θ等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 分之向量a‧向量b 同樣的作法 同學們待會可以按下暫停鍵 試著求出第小題的cos值 最後利用計算機求夾角θ的值 接下來我們來看一個比較特殊的情況 當兩向量向量a與向量b 夾角為90度的時候 我們稱向量a與向量b垂直 記作向量a垂直於向量b 從上述內容中 我們知道內積與夾角有密切的關係 那麼同學們思考一下 當兩非零向量向量a與向量b垂直時 其內積的值會是多少呢 因為向量a垂直於向量b 所以向量a與向量b的夾角為90度 又向量a‧向量b 等於向量a的絕對值 乘上向量b的絕對值 乘上cos 90度等於0 反之若向量a‧向量b等於0 會推得向量a‧向量b 等於向量a的絕對值 乘向量b的絕對值 乘以cos θ等於0 又向量a與向量b為非零向量 所以向量a的絕對值 與向量b的絕對值不為0 所以推得cos θ等於0 而θ等於90度 即向量a垂直於向量b 因此我們有以下的結論 兩向量垂直的判定 設向量a 向量b為兩個非零向量 若向量a垂直於向量b 則向量a‧向量b等於0 反之亦成立 在這裡我們可以背一下口訣 向量垂直內積零 也是一個滿常見的概念 請同學務必記熟 相信大家對於兩向量垂直與內積的關係 有了一定的了解 除了兩向量垂直內積零之外 當兩非零向量的夾角θ為銳角時 cos θ大於0 故內積為正數 當夾角θ為鈍角時 cos θ小於0 故內積為負數 也就是 已知兩非零向量向量a與向量b的夾角θ 當θ為銳角 則向量a‧向量b大於0 當θ為鈍角 則向量a‧向量b小於0 國中的時候我們已經知道 半圓的圓周角為直角 最後這裡提供一個利用向量垂直內積零的結論 來證明半圓的圓周角為直角的方法 提供給有興趣的同學作參考 證明1 右圖是以線段AB為直徑的半圓 P為圓周上異於A B的點 試證角APB等於90度 在這裡要證明角APB等於90度 也就是向量PA垂直於向量PB 而也就是試著證明 向量PA‧向量PB等於0即可 如右圖首先令圓心為O 半徑為r 因為向量PA‧向量PB 等於括號向量PO加向量OA ‧括號向量PO加向量OB 又向量OA與向量OB為反向量 差一個負號 所以上式等於 括號向量PO加向量OA ‧括號向量PO減向量OA 而括號向量PO加向量OA ‧括號向量PO減向量OA 等於向量PO的絕對值的平方 減向量OA絕對值的平方 而向量PO的絕對值 與向量OA的絕對值 都為半徑r 所以上式r平方減r平方等於0 因此得到向量PA‧向量PB等於0 所以向量PA垂直於向量PB 故角APB等於90度