利用這部影片

我們直接來介紹正射影的概念

設a向量等於向量OA

b向量等於向量OB

是平面上兩個不平行的非零向量

自A點向直線OB作垂線交於C點

此時向量OC稱為

a向量在b向量上的正射影

正射影是什麼概念呢

我們從正射影這三個字

可以想成正上方投射下來的影子

而通常影子都是投射在地面上

因此a向量在b向量上的正射影

我們把b向量放在地面上

地面上的正上方垂直地面的光線

將a向量的影子投射在地面

也就是b向量上

這個影子所畫出來的向量

就是a向量在b向量上的正射影

而這就是正射影的概念

我們改變一下a向量與b向量的夾角

來看看正射影會不會有什麼改變

當a向量與b向量的夾角為鈍角的時候

我們一樣利用垂直地面的光線

可以很快地看出a向量在b向量上的正射影

長這個樣子

同學們應該可以發現到

此時a向量在b向量上的正射影

跟b向量方向會相反

而當a向量與b向量的夾角

為直角90度的時候

a向量也剛好垂直地面

此時a向量在b向量上的正射影為零向量

接下來我們利用a向量與b向量

表示a向量在b向量上的正射影

先將結果呈現出來

若a向量 b向量為兩個不平行的非零向量

則a向量在b向量上的正射影為

括號向量b的絕對值的平方

分之向量a‧向量b

乘以b向量

我們來證明一下這個公式

設a向量等於向量OA

b向量等於向量OB

首先我們可以知道

a向量在b向量上的正射影

向量OC與b向量平行

所以向量OC可表為b向量的係數積

而這個係數是多少呢

圖中當θ為銳角時

向量OC的長度為a向量的絕對值乘cos θ

又向量OC與b向量方向相同

所以向量OC的長度

是b向量長度的

b向量的絕對值分之

a向量的絕對值cos θ倍

也就是向量OC等於括號

b向量的絕對值分之

a向量的絕對值cos θ

乘以b向量

再將cos θ等於

a向量的絕對值

乘b向量的絕對值

分之向量a‧向量b代入

得到向量OC等於括號

b向量的絕對值分之

a向量的絕對值

乘以a向量的絕對值

乘b向量的絕對值

分之向量a‧向量b

乘以b向量

等於括號b向量的絕對值的平方

分之向量a‧向量b

乘以b向量

當θ為鈍角或直角時

上面的公式仍然成立

另一方面

當a向量與b向量平行時

正射影的公式仍然成立

有興趣的同學可以自行思考並證明

重點整理

若a向量等於向量OA

b向量等於向量OB

是平面上兩個不平行的非零向量

自A點向直線OB作垂線交於C點

此時向量OC稱為

a向量在b向量上的正射影

此時正射影向量OC等於

括號b向量的絕對值的平方

分之向量a‧向量b

乘以b向量