給定直角三角形內部一點 要如何求出這個點 到三邊距離平方和的最小值呢 我們先看一個實際的例子 已知直角三角形ABC的三邊長 分別為3 4 5 若P為三角形ABC內部一點 設P到各邊之距離分別為x y z 我們想求出 x平方加y平方加z平方的最小值 要求解這個求極值問題 需利用柯西不等式 接下來我們先複習高二上學期 平面向量單元所學過的柯西不等式 並推廣到空間向量的柯西不等式 再用來求解這個問題 在平面向量單元中 曾經介紹過柯西不等式 對於平面上任意兩向量a向量與b向量 恆滿足兩向量內積的絕對值 小於等於兩向量長度相乘 這個式子稱為向量形式的柯西不等式 由此式可推得一般形式的柯西不等式 對於平面上任意兩向量 a向量等於 與b向量等於 恆滿足 a 平方加a 平方括號乘以 b 平方加b 平方 大於等於括號a b 加上a b 的平方 當等號成立時 兩向量夾角θ的餘弦值等於1或-1 即θ等於0度或180度 代表a向量平行b向量 反之當a向量平行b向量時 亦即a向量等於t倍的b向量 其中t為實數 柯西不等式的等號成立 此外當a向量或b向量為零向量時 柯西不等式的等號也會成立 因為空間中的任意兩向量 必可以平移到同一個平面上 所以這個不等式在空間中依然適用 利用向量形式的柯式不等式 我們可推導出一般形式的柯西不等式 將坐標向量a向量等於 與b向量等於 代入向量形式的柯西不等式 得 兩邊平方可得 這個式子稱為一般形式 或實數形式的柯西不等式 當a向量平行b向量 即存在實數t 使得等於t倍的時 等號成立 反之亦然 此外當a向量或b向量為零向量時 柯西不等式的等號也會成立 我們把上述的結果整理如下 接著我們回到一開始的問題 已知直角三角形ABC的三邊長 分別為3 4 5 若P為三角形ABC內部一點 設P到各邊之距離 分別為x y z 試求x平方加y平方加z平方的最小值 解答 因為三角形PAC面積 加三角形PBC面積 加三角形PAB面積 等於三角形ABC面積 所以2分之4x 加2分之5y 加2分之3z 等於2分之3乘以4 可得4x加5y加3z等於12 由柯西不等式知 將4x加5y加3z等於12代入 整理可得x平方加y平方加z平方 大於等於50分之144 等於25分之72 當存在實數t使得 等於t倍的時 等號成立 此時x等於4t y等於5t z等於3t 將其代入4x加5y加3z等於12 得50t等於12 即t等於25分之6 故當x等於25分之24 y等於5分之6 z等於25分之18時 x平方加y平方加z平方有最小值25分之72 再做一個練習 前面的例子是在給定 ax加by加cz等於d的條件下 利用柯西不等式 求出三項平方和的最小值 接下來在給定三項平方和的條件下 同樣可以利用柯西不等式 求ax加by加cz這類式子的 最大與最小值 已知實數x y z滿足 9x平方加y平方加4z平方等於3 求3x加y減2z的最大值與最小值 及此時x y z的值 解答 利用柯西不等式得 將9x平方加y平方加4z平方等於3代入 得3乘以3大於等於括號3x加y減2z的平方 即-3小於等於3x加y減2z 小於等於3 當存在實數t使得 等於t倍的 即x等於3分之t y等於t z等於-2分之t時 等號成立 將其代入3x加y減2z等於3 解得t等於1 即當x等於3分之1 y等於1 z等於-2分之1時 3x加y減2z有最大值3 將其代入3x加y減2z等於-3 解得t等於-1 即當x等於-3分之1 y等於-1 z等於2分之1時 3x加y減2z有最小值-3 再做一個練習 利用柯西不等式 可以幫助我們求解兩大類極值問題 給定ax加by加cz等於d的條件 求三項平方和的最小值 給定三項平方和 求ax加by加cz的最大與最小值 這個問題先利用三角形的周長 得x加y加z等於12 所求三個正方形面積的和為 x平方加y平方加z平方 接著就利用柯西不等式就可以求出 三個正方形面積和的最小值 答案為48平方公分 各位同學這個單元中 我們介紹了向量形式的柯西不等式 與一般形式的柯西不等式 而柯西不等式是我們用來處理 求極值問題的重要工具 在下個單元中 我們將利用向量 推導出另一個重要的不等式 三角不等式