上一個單元 我們學會了由向量的內積定義 a向量‧b向量等於 a向量的絕對值乘b向量的絕對值 乘cos θ 在排除掉cos θ的因素 及兩邊加上絕對值之後 獲得了不等式 a向量‧b向量的絕對值 小於等於 a向量的絕對值乘b向量的絕對值 我們稱為柯西不等式 其中左式代表實際作功的值 而右式代表理想作功的值 等號成立的條件為 a向量與b向量平行 若再考慮兩邊同時平方 且將a向量等於 b向量等於代入 即可得a a 加b b 括號的平方 小於等於 括號a 的平方加a 的平方 乘上括號b 的平方加b 的平方 此為柯西不等式的坐標表示法 其中左式的括號代表向量內積的平方 而右式的兩括號分別代表 向量長度的平方 等號成立的條件為 a b 等於a b 以下的內容我們將透過幾個問題 來介紹柯西不等式的應用 這些問題大多可區分為 代數問題 幾何問題 情境應用問題 而問題的重點大多都聚焦在 極值問題上 也就是最大值與最小值的問題 若實數x y滿足3x加4y等於36 則括號x減1的平方 加括號y減2的平方 的最小值為何 此時的x y分別為何 因為括號x減1的平方 加括號y減2的平方 是平方和的形式 所以可以視為長度平方的概念 將括號x減1的平方 加括號y減2的平方 填入右邊的括號 此時令a向量等於 而3x加4y是線性組合的形式 所以可以視為內積的概念 此時令b向量等於 則右邊的第二個括號 很自然的就必須填入 b向量的長度平方 也就是3平方加4平方這個式子 這時候再將a向量‧b向量 等於3乘以括號x減1 加4乘以括號y減2 等於3x加4y減11 填入左邊的括號 我們就完成柯西不等式了 因為3x加4y等於36 且3平方加4平方等於25 將數字代換之後再進行約分 可得25小於等於括號x減1的平方 加括號y減2的平方 因此括號x減1的平方 加括號y減2的平方 的最小值為25 在知道了最小值為25後 那此時的實數x y為何呢 若最小值為25 則柯西不等式等號成立 這表示我們設計的a向量與b向量 為平行向量 意即括號x減1比括號y減2 等於3比4 整理後可得 4x減3y等於-2 將此式與原條件3x加4y等於36解聯立後 即可得x等於4 y等於6 我們可以發現 將x等於4 y等於6 代入括號x減1的平方 加括號y減2的平方之後 的確可以得到最小值25 所以透過柯西不等式 我們不僅能得知括號x減1的平方 加括號y減2的平方 的最小值為25 進一步能求得此時的x等於4 y等於6 然而這個代數問題 我們也可以用幾何的觀點來重新詮釋 3x加4y等於36 在坐標平面上表示一條直線L 實數x y滿足3x加4y等於36 即表示點坐標P點為直線L上的動點 括號x減1的平方 加括號y減2的平方 在幾何上則可視為 P點到A點的距離平方 也就是線段PA的平方 因此我們可以將原本的代數問題 理解為在直線L上找點P 使得P到A點的距離平方為最小 從幾何的觀點來看 即可知P到A的距離 PA線段的最小值 必定發生在線段PA垂直L的時候 因此可知線段PA的最小值 即為點A到直線L的距離d 根據點到直線距離公式可知 d等於根號3平方加4平方 分之3乘以1加4乘以2減36的絕對值 等於5分之25 等於5 因此線段PA的平方的最小值為 d的平方 等於括號x減1的平方 加括號y減2的平方 等於5的平方 等於25 進一步考慮過A點與L的垂線L' 因為L的斜率為4分之-3 所以L'的斜率為3分之4 根據點斜式可知L'的方程式為 y減2等於3分之4乘以括號x減1 整理後可得 4x減3y等於-2 利用解聯立求L與L'的交點 即可知此時的P點坐標為 這呼應著當x等於4 y等於6時 實數x y滿足3x加4y等於36 且使得括號x減1的平方 加括號y減2的平方 有最小值25 接下來讓我們來看一個情境問題 在直徑為2公里的半圓形湖中游泳 先由湖畔的A點沿直線採自由式 游到湖邊的某個點C 再沿直線採蛙式游到點B 其中AB為湖的直徑 已知自由式速度為每小時2公里 蛙式速度為每小時1.5公里 請問用此方式游泳的時間 最長為多少小時呢 假設自由式游了x小時 蛙式游了y小時 根據題目的條件 我們可以列出x與y的關係式 因為線段AC等於2x 線段BC等於2分之3y 線段AB等於2 且三角形ABC為直角三角形 所以線段AC的平方加線段BC的平方 等於線段AB的平方 可得2x的平方 加括號2分之3y的平方 等於4 也就是x與y滿足 2x的平方 加2分之3y的平方 等於4 在這樣的條件下 我們希望可以求得游泳時間x加y的最大值 因為2x平方 加括號2分之3y的平方 是平方和的形式 所以將此式放至右邊的括號 此時令a向量等於 而x加y是線性組合的形式 所以可以視為內積的概念 即a向量dot向量2分之1 3分之2 則可將x加y放至左邊的括號 此時可以令b向量等於 這時候右邊的第二個括號 就填入b向量的長度平方 也就是2分之1的平方 加3分之2的平方這個式子 如此一來確認了a向量等於 與b向量等於 我們就完成了柯西不等式了 因為括號2x的平方 加括號2分之3y的平方 等於4 且2分之1的平方 加3分之2的平方 等於36分之25 所以x加y括號的平方 小於等於9分之25 由此可知x加y的最大值為3分之5 這表示游泳時間的最大值 即為3分之5小時 同學們有沒有覺得柯西不等式很有意思呢 仔細思考 我們已知游泳時間的最大值 為3分之5小時 那麼你可以算出自由式與蛙式 分別游了多少時間嗎 答案為自由式5分之3小時 蛙式15分之16小時 同學能正確的求出來嗎